analytická geometrie
Dobrý den, nevím si rady s tímt příkladem. Neví někdo, jak řešit tento příklad? Je dána úsečka PM, kde P(-1,2), M(2,1). Urči hodnotu parametru o tak ,aby úsečka XY protínala úsečku PM v jejím středu. Souřadnice bodů X(-2,-6) a Y(2,o).
Moc děkuju za pomoc
Moc děkuju za pomoc
Odpovědi
Diskuze
P(-1,2)
M(2,1)
X(-2,-6)
Y(2,o)
vektory:
PM=(2-(-1),1-2)
PM=(3,-1)
zjistíme rovnici přímky, která prochází body P,M
k=Δy/Δx=-1/3
y=kx+q
P(-1,2)
2=(-1/3)*(-1)+q
q=2-1/3=5/3
y=-1/3*x + 5/3 (rovnice přímky, která prochází body P,M)
===============
zjistím bod který je v polovině PM
1/2 z PM ~ PM'(3/2,-1/2)
y=(-1/3)x + 5/3
Souřadnice bodu Z v polovině úsečky:
x2=-1+3/2=1/2
y2=2-1/2=3/2
-> bod Z(1/2,3/2) je ve středu úsečky PM
-> vektor úsečky XY:
XY(2-(-2),o-(-6))
XY(4,o+6)
-> rovnice 2. přímky
k=Δy/Δx=(o+6)/4
X(-2,-6) (1. bod)
Z(1/2,3/2) (2. bod)
y=(o+6)/4*x+q
-6=(o+6)/4*(-2)+q (1. rovnice)
3/2=(o+6)/4*(1/2)+q (2. rovnice)
-6-3/2=(o+6)/4*(-2) - (o+6)/4*(1/2)
-12-3=-(o+6) - (o+6)/4
15=(o+6) + (o+6)/4
60=4*(o+6) + (o+6)
60=5*(o+6)
12=(o+6)
6=o (hledaný parametr)
======================
Kontrola:
y=kx+q
y=(o+6)/4*x+q
y=(6+6)/4*x+q
y=3*x+q
X(-2,-6)
-6=3*-2+q
0=q
y=3*x+0
y=3*x (rovnice přímky, která prochází body X,Y,Z)
=========
Tato rovnice musí procházet body X,Y,Z
X(-2,-6)
Y(2,6)
Z(1/2,3/2)
y=3*x
-6=(3*-2) : bod X - OK
======================
6=3*2 : bod Y - OK
======================
3/2=3*(1/2) : bod Z - OK
======================
Možná to jde řešit i jinak ...
Používám trochu jiný zápis. Body dávám do hranatých závorek a vektory do oblých.
P = [-1,2]
M = [2,1]
X = [-2,-6]
Y = [2,o]
1) zjístím přímku procházející body P, M.
2) najdu bod ve středu té úsečky, označím si ho Z
3) zjístím přímku procházející body X, Y. Nebude to konkrétní přímka, pořád neznáme parametr "o".
4) Do rovnice přímky procházející X, Y, dosadím bod Z a získám parametr "o".
---------------
Směrnice:
PM = M-P = (2-(-1),1-2) = (3,-1)
Parametrické vyjádření přímky:
P + t*PM
[-1,2] + t*(3,-1)
rozepíšeme pro x-ovou a y-ovou složku
x = -1 + 3*t
y = 2 + (-1)*t = 2 - t
(Můžeme si vyjádřit přímku ve tvaru y = k*x + q, ale teď bude lepší zůstat u parametrického vyjádření.)
Parametrické vyjádření přímky znamená, že když dosadím za "t" cokoliv, tak konkrétní x,y které tak vyjdou budou vždy ležet na té přímce.
Když dosadím t = 0 vyjde bod P.
Když dosadím t = 1 vyjde bod M.
A střed mezi body P a M získám tak, že dosadím t = 1/2.
x = -1 + 3*(1/2) = 1/2
y = 2 - (1/2) = 3/2
Bod Z = [1/2, 3/2]
Přímka procházející body X a Y:
Směrnice:
XY = Y - X = [2,o] - [-2,-6] = ( 2-(-2), o -(-6) ) = (4, o+6)
Parametrický zápis přímky:
X + t*XY
[-2,-6] + t*(4, o+6)
Rozepíšeme pro x-ovou a y-ovou složku:
x = -2 + 4*t
y = -6 + (o+6)*t
Chceme, aby přímka procházela taky bodem Z = [1/2, 3/2],
dosadíme x,y do parametrického vyjádření a z toho zjístíme parametr "o".
1/2 = -2 + 4*t
3/2 = -6 + (o+6)*t
------
Z první rovnice zjístíme, že
t = 5/8
to dosadíme do druhé rovnice a zjístíme, že
o = 6
Přímka kterou hledáme je:
x = -2 + 4*t
y = -6 + (6+6)*t = -6 + 12*t
Můžeme ji převést do tvaru y = k*x + q.
Z první rovnice vyjádříme t:
x = -2 + 4*t
t = (x + 2)/4
Dosadíme do druhé rovnice:
y = -6 + 12*t
y = -6 + 12*(x + 2)/4
upravíme:
y = -6 + 3*x + 6
y = 3*x
je řešení.