Vzájemná poloha dvou rovin
Zdravím, chtěla bych se zeptat jakym zpusobem počítat tento typ prikladu, mám napsané dva způsoby, ale bohužel nevím jestli můžu u vsech použít stejný?
1) musím si najít dva body A, B
2) vypisu si rovnou vektory z dané roviny a provedu vektorovy soucin.
rovina 1: x+y-z-2=0
rovina 2:2x-y+z-4=0
Děkuji za odpověď
1) musím si najít dva body A, B
2) vypisu si rovnou vektory z dané roviny a provedu vektorovy soucin.
rovina 1: x+y-z-2=0
rovina 2:2x-y+z-4=0
Děkuji za odpověď
Odpovědi
Diskuze
x+y-z-2=0
2x-y+z-4=0
---
3x-6=0
x=6/3=2
Zatím nevíme, co to je, zda bod, přímka, nebo jsou rovnice roviny totožné ...
dosadíme do obou dvou původních rovnic: x=2
2+y-z-2=0; z=y
4-y+z-4=0; z=y
takže nyní máme tuto soustavu:
x=2
z=y
co to je ?
je to přímka z=y v prostoru, procházející v souřadnicí x=2, přesněji řečeno přímka z=y ležící v rovině x=2
Závěr: roviny se protínají v přímce.
https://www.wolframalpha.com/input/?i=plot+x%2By-z-2%3D0++and+plot+2x-y%2Bz-4%3D0
řešení (přímka) je možné zapsat parametricky: (x=2; y=t; z=t)
b) řešení je možné uskutečnit analyticky
- najít normálové vektory obou rovin a porovnat jejich směrnice
- ... viz Vlaďka
normálový vektor roviny σ: (2; -1; 1)
(1; 1; -1) ≠ k* (2; -1; 1) => roviny nejsou rovnoběžné, tzn., že existuje průsečnice p ⊂ ρ ∩ σ
x+y-z-2=0
2x-y+z-4=0
--------------
z = t, t ∈ R
3x = 6 => x = 2
y = t, t ∈ R
Roviny jsou různoběžné, jejich průsečnice: p: x = 2, y = t; z = t; t ∈ R
x + y - z = 2
2x - y + z = 4
a je vymalováno:
Sečtením rovnic máme 3x=6 a dosazením x=2 do 1. rovnice (PROČ není nutno dosazovat do obou?)
y - z = 0 ,
takže jednu neznámou (např. z) lze volit:
z = t , kde t je libovolné reálné číslo,
y = t ,
což spolu s x=2 dává rovnici přímky; roviny se tedy protínají v této přímce.
Kdyby zadaná soustava neměla řešení, rovinám by nezbývalo, než být rovnoběžné. Kdyby v soustavě vyšly dvě volitelné neznámé, nemusel bych dál počítat, anžto by množina společných bodů byla rovinou - byly by totožné.
(Cenobita zase plácnul několik nesmyslů, kterými poškozuje tazatele.)