Kombinatorická nerovnice
Kombinatorická nerovnice - je to správně?
Dobrý den, přátelé, mohu Vás poprosit o radu?
(x+1)
+ 2x
I2 =
Teď jsem si to dosadila a vyšlo mi to pro interval
Moc Vám děkuji za kontrolu. Nejsem si tím jistá...
Promiňte mi ty prapodivné symboly :D
Děkuji moc.
Dobrý den, přátelé, mohu Vás poprosit o radu?
(x+1)
+ 2x
I2 =
Teď jsem si to dosadila a vyšlo mi to pro interval
Moc Vám děkuji za kontrolu. Nejsem si tím jistá...
Promiňte mi ty prapodivné symboly :D
Děkuji moc.
Odpovědi
Diskuze
Znovu:
Zadání:
Kombinatorický výraz... Napíšu to slovy: x+2 nad x.
X+2 nad x + 2x < 50
1) upravila jsem si to podle vzorečku z kombinací. Takto:
(x+1)!/1! x! + 2x <50
2) Po úpravě - snižování faktoriálu vzešlo toto:
x+1 + 2x < 50
3x <49
x < 49/3. To ale musí vyjít celé číslo, proto jsem si intervaly rozdělila takto:
I1 = {0,16}
I2 = {16,nekonečno}
Vyšel mi I1... Tedy x= {0,16}
Je to tak? Moc děkuji.
úplně nerozumím tomu, jaké úpravy tam provádíte, kam se vytratilo x+2 z kombinačního čísla? Co myslíte snižováním faktoriálu?
Příklad bych řešil následovně:
Mějme nerovnici
nCr(x+2,x) + 2x < 50
kde nCr(a,b) je rovno kombinačnímu číslu "a nad b".
Nejprve si zavedu podmínky řešitelnosti (což je naprosto esenciální), tedy
x + 2 >= 0 ∧ x >=0 ∧ x + 2 >= x ∧ x ∈ N ∪ {0}, což lze díky tranzitivitě částečného uspořádání redukovat na
x >= 0 ∧ x ∈ N ∪ {0}
Použijeme vzorec nCr(a,b) = a!/(b! * (a-b)!), který platí při dodržení vstupních podmínek.
nCr(x+2,x) + 2x < 50
(x+2)!/(x! * 2!) + 2x < 50
Využijeme vlastnosti, že 0! = 1 a že pro každé n >= 1 platí rekurzivní definice faktoriálu: n! = n*(n-1)!
(x+2)!/(x! * 2!) + 2x < 50
(x+2)*(x+1)*(x)! / (x! * 2!) + 2x < 50
Jelikož faktoriál není nikdy zobrazen do nuly (jde o neklesající posloupnost, kde 0! = 1), můžeme krátit:
(x+2)*(x+1) / 2 + 2x < 50
(x+2)*(x+1) + 4x < 100
x^2 + 3x + 2 + 4x < 100
x^2 + 7x - 98 < 0
x1,2 = (-7 -+ sqrt(49 + 98*4))/2
x1,2 = (-7 -+ sqrt(441))/2
x1,2 = (-7 -+ 21)/2
tedy x1 = -14
x2 = 7
Řešíme nerovnici
(x-7)(x+14) < 0
Je evidentní, že nerovnice platí pro x ∈ (-14, 7)
Řešením je tedy průnik intervalu I = (-14, 7) s počátečními podmínkami
x ∈ (-14, 7) ∩ <0, ∞) ∩ (N ∪ {0})
x ∈ {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}
Píšete, že vám vyšel jako výsledek interval, což ale není dost dobře možné, protože v kombinatorice je faktoriál definovaný pouze pro nezáporná celá čísla, tudíž výsledek kombinatorické nerovnice (s neznámou v kombinačním čísle) musí být nutně diskrétní, tedy diskrétní množina řešení.
nCr(x+2, x) + 2x < 50
místo
nCr(x+1, x) + 2x < 50,
chápu to správně? Zkuste mi to potvrdit a pak chvíli vydržte, než to vyřeším pro pozměněný vstup.
Jen bych chtěl ještě doplnit, že pro příště doporučuji olbřímí obrázky před vložením na ontolu srazit na menší velikost, 3000x4000 px je přehnané. Je to datová nálož, ale nakonec se taky načte, takže to není zásadní problém, jen doporučení, které tu včera uvedl kolega.
nCr(x+1, x) + 2x < 50,
kde nCr(a,b) je rovno kombinačnímu číslu "a nad b".
Jako vždy nejprve zavedu neopomenutelné podmínky řešitelnosti, tedy
x + 1 >= 0 ∧ x >=0 ∧ x + 1 >= x ∧ x ∈ N ∪ {0}, což lze redukovat na
x >= 0 ∧ x ∈ N ∪ {0}
Použijeme vzorec nCr(a,b) = a!/(b! * (a-b)!), který platí při dodržení vstupních podmínek.
nCr(x+1,x) + 2x < 50
(x+1)!/(x! * 1!) + 2x < 50
Využijeme vlastnosti, že 0! = 1 a že pro každé n >= 1 platí rekurzivní definice faktoriálu: n! = n*(n-1)!
(x+1)!/(x! * 1!) + 2x < 50
(x+1)*(x)! / (x!) + 2x < 50
Jelikož faktoriál není nikdy zobrazen do nuly (jde o neklesající posloupnost, kde 0! = 1), můžeme krátit:
x + 1 + 2x < 50
3x + 1 < 50
x < 49/3
x ∈ (-∞, 49/3)
Řešením je tedy průnik intervalu I = (-∞, 49/3) s počátečními podmínkami
x ∈ (-∞, 49/3) ∩ <0, ∞) ∩ (N ∪ {0})
x ∈ {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16}
Došla jste tedy víceméně ke správnému řešení, ale pozor na terminologii. Rozhodně nejde o žádný interval, nýbrž o diskrétní množinu, o množinu diskrétních hodnot.
Malé formální okénko:
Zápis x = {0,16} je nekorektní, protože tím říkáte, že existuje jediné řešení x, které je rovné dvouprvkové množině {0, 16}. To je ale nepravda, protože do kombinatorické nerovnice nemůžete za neznámou vkládat množinu. Určitě neplatí, že množina {0, 16} by bylo nezáporné celé číslo.
Pokud byste za řešení označila x ∈ {0, 16}, došla byste pouze k částečnému řešení, které zanedbává 14 jiných řešení, neboť tímto říkáte, že řešením jsou pouze hodnoty 0 a 16.
Operovala jste se slovem interval, ale kdybyste napsala x ∈ <0, 16>, ani v tomto případě byste neuvedla správné řešení, protože jde o interval (nekonečnou, spojitou množinu), která obsahuje nekonečné množství hodnot, které nejsou řešením nerovnice.
Je spousta způsobů, jak naše řešení napsat správně, několik vám jich vypíšu:
x ∈ {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16}
je poněkud zdlouhavý, ale naprosto korektní výčet řešení pomocí množiny.
x ∈ {n ∈ N ∪ {0}| n >= 0 ∧ n <= 16 }
je také vhodný zápis.
x ∈ <0, 16> ∩ (N ∪ {0})
je rovněž možné řešení.