Nerovnice s faktoriály
Dobrý den. Pomohl by někdo, prosím, s následujícími dvěma příklady? Jde o nerovnice s faktoriály.
a) 72n! < (n+2)!
...
Došla jsem až ke kvadratické rovnici, jejíž kořeny mi vyšly 10 a (-7), po dosazení do závorek mi vyšlo n1= (-10), n2= 7. Výsledné řešení má být n z množiny [8,9,10,11, ...]. Poradil by někdo, jak na to přijít, prosím?
b) (n+2)!*(24+6n) <= (n+4)!
...
Vyšlo mi n1=(-3), n2=4 a opět mám stejný problém - nevím, jak se odsud dostat k výsledku n z množiny [3,4,5,...]
Předem děkuji za případnou pomoc :-)
a) 72n! < (n+2)!
...
Došla jsem až ke kvadratické rovnici, jejíž kořeny mi vyšly 10 a (-7), po dosazení do závorek mi vyšlo n1= (-10), n2= 7. Výsledné řešení má být n z množiny [8,9,10,11, ...]. Poradil by někdo, jak na to přijít, prosím?
b) (n+2)!*(24+6n) <= (n+4)!
...
Vyšlo mi n1=(-3), n2=4 a opět mám stejný problém - nevím, jak se odsud dostat k výsledku n z množiny [3,4,5,...]
Předem děkuji za případnou pomoc :-)
Odpovědi
Diskuze
72 < (n+2)(n+1)
0 < n² + 3n - 70
n = (-nekonečno;-10) a (7;nekonečno), přičemž z podmínek nám sedí jen (7;nekonečno)
Jestliže n má být jen z té tvé množiny, tak ta množina bude spadat celá do tohoto intervalu, ne?
Uvědom si, že výsledkem není jeden kořen, je to nerovnice, nikoliv rovnice, hádám, že stejný problém bude ve druhém příkladu.
72*n! < (n+2)!
72*n! < n!*(n+1)*(n+2)
72 < (n+1)*(n+2)
72 < n*n+3n+2
n*n+3n-70 > 0
n1=-10
n2=+7
záporná řešení vyloučíme, takže platí všechna řešení větší než 7, kde n jsou celá čísla
n>7
===
https://www.wolframalpha.com/input/?i=n*n%2B3n-70+%3D+0
Parabola má kladné hodnoty když n>7 a n<-11 (záporná čísla vyloučíme).
Dostal jsem nerovnost
n^2 + 3 n - 70 > 0
(n + 10)(n - 7) > 0
-> n > 7, což jsou celá čísla z množiny {8, 9, 10, 11, ... }