Slovní úloha o pohybu
Ahoj, potřeboval bych poradit a zkontrolovat moje řešení jedné slovní úlohy.
Dvě auta se pohybují za sebou. První auto(v1 = 20 ms-1) dojíždí druhé auto (v2 = 15 ms-1). V okamžiku, kdy je mezi auty vzdálenost L = 15 m, začnou obě auta současně brzdit. První auto brzdí se zrychlením a1 = 2,5 ms-2, druhé auto se zrychlením a2 = 1,25 ms-2.
v1 = 20 ms-1; a1 = 2,5 ms-2; v2 = 15 ms-1; a2 = 1,25 ms-2; L = 15 m
1) Jakou nejvyšší rychlostí v(max) může jet osobní automobil před začátkem brzdění, aby nedošlo ke srážce?
Vypočítal jsem čas, za který první i druhé auto zastaví a dráhu, kterou při tom ujedou.
t1 = 8 s
s1 = 80 m
t2 = 12 s
s2 = 90 m
Teď nevím, jak dál. Když do toho započítám tu vzdálenost 15 m, tak první auto ujede maximální vzdálenost s = L+s2 = 105 m. Kdyby ujelo víc, tak do druhého auta nabourá. Tuto vzdálenost může ujet za čas t2, protože kdyby jelo déle, nabouralo by, jelikož za 12 s už druhé auto bude stát.
Dal jsem to do rovnice:
s = v(max)*t2 - 0,5*a1*t2*t2
v(max) = 23,75 ms-1
Co myslíte, je ten výsledek správně? Nějak se mi to nezdá. Díky za pomoc.
Dvě auta se pohybují za sebou. První auto(v1 = 20 ms-1) dojíždí druhé auto (v2 = 15 ms-1). V okamžiku, kdy je mezi auty vzdálenost L = 15 m, začnou obě auta současně brzdit. První auto brzdí se zrychlením a1 = 2,5 ms-2, druhé auto se zrychlením a2 = 1,25 ms-2.
v1 = 20 ms-1; a1 = 2,5 ms-2; v2 = 15 ms-1; a2 = 1,25 ms-2; L = 15 m
1) Jakou nejvyšší rychlostí v(max) může jet osobní automobil před začátkem brzdění, aby nedošlo ke srážce?
Vypočítal jsem čas, za který první i druhé auto zastaví a dráhu, kterou při tom ujedou.
t1 = 8 s
s1 = 80 m
t2 = 12 s
s2 = 90 m
Teď nevím, jak dál. Když do toho započítám tu vzdálenost 15 m, tak první auto ujede maximální vzdálenost s = L+s2 = 105 m. Kdyby ujelo víc, tak do druhého auta nabourá. Tuto vzdálenost může ujet za čas t2, protože kdyby jelo déle, nabouralo by, jelikož za 12 s už druhé auto bude stát.
Dal jsem to do rovnice:
s = v(max)*t2 - 0,5*a1*t2*t2
v(max) = 23,75 ms-1
Co myslíte, je ten výsledek správně? Nějak se mi to nezdá. Díky za pomoc.
Odpovědi
Diskuze
tak jak je úloha zadaná, by šlo počítat zda se srazí či ne:
v1 = 20 m/s
v2 = 15 m/s
a1 = 2,5 m/s2
a2 = 1,25 m/s2
L=15m
v=v1-a1*t
s1=0 m
s2=L=15 m
s=s1+v1*t-1/2*a1*t*t
s=s2+v2*t-1/2*a2*t*t
v1*t-1/2*a1*t*t = L+v2*t-1/2*a2*t*t
-(v1-v2)*t+1/2*(a1-a2)*t*t + L = 0
1/2*(a1-a2)*t*t - (v1-v2)*t + L = 0 (kvadratická rovnice)
t=(v1-v2)/(a1-a2) +/- √((v1-v2)² - 2*(a1-a2)*L) / (a1-a2)
t=5/1,25 +/- √(25 - 2,5*15) / 1,25
rovnice má totiž jako řešení imaginární čas
Jak to tedy bude? Díky moc.
a2 = -1,25m/sec^2; v2 = 15m/sec; s2 = ?
Obě auta začnou brzdit ve stejný okamžik, čas do srážky t = t1 = t2 = ?
Vzdálenost od bodu, kde bylo auto 1 v okamžiku počátku brzdění je s .
V okamžiku srážky s = s1 = s2 + 15 a v1>v2. Hledáme čas t:
0,5*a1*t^2 + v1*t = 0,5*a2*t^2 + v2*t + 15
0,5*(a1 - a2)*t^2 + (v1-v2)*t - 15 = 0 => -0,625*t^2 + 5*t - 15 = 0
Diskriminant této rovnice je záporný, rovnice nemá řešení v oboru reálných čísel, ke srážce nedojde. Hledejme tedy hodnotu v1, při které bude diskriminant D = 0:
b^2 - 4*-0,625*-15 = 0 => b = √(37,5) = 6,12373m/sec je rozdíl rychlostí, v1 = 21,12373
Tak dostaneme rovnici -0,625*t^2 + 6,12373*t - 15 = 0; t1 = 4,8923; t2 = 4,9056. Dva kořeny znamenají, že buď jde o zaokrouhlovací chybu při výpočtu diskriminantu, nebo dojde ke srážce v okamžiku, kdy je stále ještě v1>v2. Pokud by se auta jen míjela, minula by se ještě jednou ve větší vzdálenosti. Vzhledem k velikosti rozdílu považujme existenci dvou kořenů za zaokrouhlovací chybu a vypočteme průměr: t = (t1+t2)/2 = 4,89895sec.
Vypočítáme nyní vzdálenost obou aut od počáteční polohy auta1 a jejich rychlost:
s1 = 0,5*-2,5*4,89895^2 + 21,12373*4,89895 = 73,484m; v11 = 8,876m/sec
s2 = 0,5*-1,25*4,89895^2 + 15*4,89895 + 15 = 73,484m; v21 = 8,876m/sec
Rychlost v1 = 21,12373m/sec je rychlostí, při které právě nedojde ke srážce.
OK?
a1*t + v1 = a2*t + v2 => (a1 - a2)*t = (v2 - v1) => t = (v2 - v1)/(a1 - a2) = -5/-1,25 = 4sec
Po této době se bude první auto pohybovat pomaleji a vzdálenost poroste.
Ať vzdálenost mezi auty je x:
x = 0,5*a2*4^2 + v2*t + 15 - (0,5*a1*4^2 + v1*t) = 0,5*t^2*(a2-a1) +t*(v2-v1) + 15 = 5m je minimální vzdálenost mezi auty při parametrech v zadání.
Pro v1 = 21m t = 6/1,25 = 4,8sec a x = 0,6m.