Délky hran kvádru jsou v poměru a:b:c = 1:2:3, tělesová úhlopříčka má délku ut = 504 . Vypočtěte objem a povrch kvádru.
Odpovědi
Diskuze
a:b:c = 1:2:3
u=504
Vztahy:
V=a*b*c
S=2*(a*c+b*c+a*b)
u*u=a*a+b*b+c*c (1. rovnice)
Dosazení:
a:b:c = 1:2:3
čili:
a:b = 1:2 -> b=2a (2. rovnice)
a:c = 1:3 -> c=3a (3. rovnice)
b:c = 2:3 -> 2c=3b (4. rovnice) (nadbytečná rovnice jde ji odvodit z rovnice 2. a 3.)
(3 rovnice o třech neznámých a,b,c)
a) objem: V=a*b*c
Řešíme 3 rovnice o třech neznámých: a,b,c
u*u=a*a+b*b+c*c
504*504=a*a+(2a)*(2a)+(3a)*(3a)
504*504=a*a*(1+2*2+3*3)
504*504=a*a*(1+4+9)
504*504/14=a*a
a=504/√14
b=2a=2*504/√14
c=3a=3*504/√14
V=a*b*c
V=504/√14*2*504/√14*3*504/√14
V=504*504*504*1/√14*2/√14*3/√14
V=504*504*504*1*2*3*14^(-3/2)
V=14663944,431135300780006811991817
===============
S=2*(a*c+b*c+a*b)
S=2*( 504/√14 * 3*504/√14 + 2*504/√14 * 3*504/√14 + 504/√14 * 2*504/√14 )
S=2*( 1*3*504*504/14 + 2*3*504*504/14 + 1*2*504*504/14 )
S=2*504*504/14 * ( 1*3 + 2*3 + 1*2 )
S=504*504/7 * ( 3 + 6 + 2 )
S=504*504/7 * (11)
S=504*504*11/7=
S=399168
========
strany kvádru: x, 2x, 3x
Tělesová úhlopříčka spolu s úhlopříčkou podstavy a výškou kvádru tvoří pravoúhlý trojúhelník. Úhlopříčka podstavy má délku (z Pythagorovy věty) u=√(x^2+(2x)^2)=x√5
Pro výšku kvádru platí (z Pythagorovy věty):
(3x)^2 = (√504)^2 - (x√5)^2
9x^2 = 504 - 5x^2
14x^2 = 504
x^2 = 36
x = 6 (j)
Strany kvádru: a = 6 j, b = 12 j, c = 18 j
V = abc = 1296 j^3
S = 2(ab+bc+ac) = 2(72+216+108) = 792 j^2
S=√504*√504*11/7=504*11/7=792 j2
S=792 j2
========
V=√504*√504*√504*1*2*3*14^(-3/2)
V=504/14*√504/√14*1*2*3=
V=36*6*1*2*3=1296 j3
V=1296 j3
=========