Mechanika tuhého tělesa
Prosím o pomoc s tímto příkladem, nevím si sním vůbec rady.
Děkuji moc předem.
Těleso o hmotnosi m se pohybuje nějakou rychlostí v0 a začne na něj působit síla -kv.
Za jak dlouho klesne jeho rychlost na polovinu?
Výsledek by měl být: t=(m/k)*ln2
F = -kv
t=?
v=v0/2
Děkuji moc předem.
Těleso o hmotnosi m se pohybuje nějakou rychlostí v0 a začne na něj působit síla -kv.
Za jak dlouho klesne jeho rychlost na polovinu?
Výsledek by měl být: t=(m/k)*ln2
F = -kv
t=?
v=v0/2
Odpovědi
Diskuze
x" = d2x/dt2 = dv/dt = v'
sestavíme pohybovou diferenciální rovnici:
m*x" = F
m*v' = -kv
v'/v = -k/m
získáme diferenciální rovnici 1. stupně
dv/v = -k/m*dt
integrujeme:
ln|v| = -k/m*t + C
v = e^( -k/m*t + C)
v = e^( -k/m*t) * e^C
nyní musíme dosadit okrajové podmínky
v čase t=0 je v=v0
v = e^( -k/m*t) * e^C
v0 = e^( -k/m*0) * e^C
v0 = e^(0) * e^C
v0 = 1 * e^C
C=ln(v0)
tím jsme získali velikost konstanty C
nyní už máme kompletní pohybovou rovnici:
v = e^( -k/m*t) * e^C
v = e^( -k/m*t) * e^(ln(v0))
v = v0*e^( -k/m*t)
==================
nyní dosadíme otázku ze zadání:
hledáme, kdy bude mít těleso rychlost v = 1/2 z v0 = v0/2
v = v0*e^( -k/m*t)
v0/2 = v0*e^( -k/m*t)
1/2 = e^( -k/m*t)
-ln(1/2) = k/m*t
ln(2)/(k/m) = t
ln(2)*(m/k) = t
===============