Průměrné rychlosti běhů, úloha
Ahoj, chtěl bych se zeptat na tuto slovní úlohu. Na tartanovém okruhu dlouhém 440 m si zdokonalovali svou ,„fyzičku“ spolužáci Dan a Rosťa. Trénovali běh na střední trati. Vyběhli současně z místa startu a běželi po okruhu různými průměrnými rychlostmi, avšak opačnými směry. Vždy po uplynutí 48 sekund se míjeli. Rozdíl mezi průměrnými rychlostmi běhů Dana a Rosti byl 5/6 m/s. Vypočítejte průměrné rychlosti běhů obou spolužáků v m/s a v km/h. Děkuji za radu.
Nevím, vůbec nic.
Nevím, vůbec nic.
Odpovědi
Diskuze
pustíme se tedy do výpočtu!
Nejprve si ze zadání zkusíme extrahovat všechny důležité informace. Všimněme si, že ze zadání není zřejmé, který z mládenců běžel rychleji. Budou tedy existovat dvě různá řešení.
Rychlost Dana: vD [m/s]
Rychlost Rosti: (vD - 5/6) [m/s] [víme totiž, o kolik se jejich rychlosti liší, postačí nám tedy jediná neznámá pro rychlost. Dana stanovíme prozatím jako rychlejšího.]
Čas, který uběhne, než se chlapci setkají: t = 48 s
Dráha, kterou Dan urazí, než se chlapci setkají: sD [m]
Dráha, kterou Rosťa urazí, než se chlapci setkají: (440 - sD) [m] [víme totiž, že oba mladíci běhají opačným směrem v kruhu, součet drah, které urazí mezi dvěma setkáními, se musí rovnat obvodu kruhu, pročež lze tuto dráhu opět vyjádřit jen pomocí jedné neznámé!]
Hádám, že v tuto chvíli už tušíte, jak se bude postupovat dál. Sestavíme si soustavu rovnic o dvou neznámých. Vyjdeme z rovnice rovnoměrného pohybu dle Newtonovské fyziky: s = v * t
sD = vD * 48
440 - sD = (vD - 5/6) * 48
sD - 48 * vD = 0
sD + 48 * vD = 480
Tuto soustavu rovnic si vyřešte, jak je ctěná libost. Já ji vyřeším pomocí determinantu:
A*x = b
[1 -48]
[1 48] = A
x = [sD vD]^T
b = [0 480]^T
det(A) = 96
det(AsD) = 48*480
det(AvD) = 480
sD = det(AsD)/det(A) = 240 m
vD = det(AvD)/det(A) = 5 m/s
Vypočítali jsme, že Dan běžel rychlostí 5 m/s a jelikož jsme ho na začátku stanovili jako rychlejšího, běžel Rosťa rychlostí 25/6 m/s, tedy
vD = 5 m/s
vR = 25/6 m/s
Pozor, celá úloha má dvě řešení, neboť vše se mohlo odehrát i tak, že rychlejší byl druhý chlapec. Dana jako rychlejšího jsme si náhodně zvolili na začátku. Řešení jsou tedy následující:
První řešení:
vD1 = 5 m/s
vR1 = 25/6 m/s
Druhé řešení:
vD2 = 25/6 m/s
vR2 = 5 m/s
Snad je vše jasné! Neváhejte se ozvat, pokud ne a určitě nezapomeňte provést i převod na kilometry v hodině
sD - 48 * vD = 0
sD + 48 * vD = 480
Všimněte si, že můžeme obě rovnice upravit tak, aby na jedné straně byla samotná proměnná sD
sD = 48 * vD
sD = 480 - 48 * vD
Jelikož sD je hodnota, která se rovná sama sobě, pak platí i toto:
48 * vD = sD = 480 - 48 * vD
Všechny výrazy ve všech částech rovnice se rovnají, takže můžeme psát
48 * vD = 480 - 48 * vD
Toto upravíme
48 * vD = 480 - 48 * vD
96 * vD = 480
vD = 5
A teď pomocí této informace dopočítáme sD
sD = 48 * vD
sD = 48 * 5 = 240 m
Jelikož víme, že rychlost Rosti (vR) je
vR = vD - 5/6
počítáme
vR = 5 - 5/6 = 25/6
Už je to v pořádku?