Derivace, integrace?
Dokázal byste mi, prosím, někdo vysvětlit pojmy derivace a integrace? Stačí mi to opravdu obecně, hodně zhruba. Předem moc děkuji.
Odpovědi
Diskuze
2. integrace je výpočet objemu pod plochou
3. integrace je výpočet délky křivky
4. dají se najít i další aplikace, zvláště fyzikální, je jich nepřeberné množství
5. integrace je vlastně sčítání nekonečně malých veličin, dá se představit jako limitní případ sumace
1. derivace je nalezení směrnice křivky v daném bodě (dá se to představit jako strmost jakou křivka stoupá nebo klesá - jde o směrnici tečny v daném bodě)
2. derivace se dá vypočítat i pro plochy
3. fyzikálně je derivace funkce dráhy podle času: rychlost
4. fyzikálně je derivace funkce rychlosti podle času: zrychlení
5. derivace se dá představit jako dělení plochy na nekonečně malé plošky, ze kterých se sestává celá derivovaná plocha
6. a další ...
Derivace vyjadřuje míru změny nějaké veličiny se změnou nějaké jiné veličiny - vlastně podíl těch změn, když přitom ta druhá je co nejmenší. Jak např. uvedeno v bodech 3 a 4: změnu dráhy v čase vidíme jako rychlost v = s/t (v = ds/dt), změnu rychlosti v čase jako zrychlení a = v/t (a = dv/dt).
Obdobně v bodě 1: derivace určuje míru změny souřadnice y se změnou souřadnice x (v obvyklém grafu). Čím strměji křivka roste, tím je změna y při stejné (malé) změně x větší. Tím je větší i hodnota směrnice (vlastně tg úhlu tečny v tom bodě křivky).
Bod 5 by se dal nahradit zjednodušeným pohledem asi takhle: když rozdělíme křivku na miniaturní schodečky, všechny stejně široké (limita šířky jde pak až k nule), pak derivace v místě každého toho schodečku je vlastně jeho výška - na strmé křivce vysoké schodky, na "ležaté" křivce nízké schodky. Na konstantní přímce mají schodky výšku nula (=vůbec tam nejsou :-). Na klesající křivce jdou schody dolů (= derivace je záporná). Atd.
S - plocha
S=∫ dS
d(S)=d(∫ dS)
dS=d(∫ dS)
dS=dS
Příklad:
může platit třeba pro obdélníkovou plochu, lineárně rostoucí: S(x)=h*x
pak derivace plochy:
dS/dx=h (toto je ta derivace plochy, je vidět, že růst plochy je konstantní)
dS=h*dx (a toto je to rozdělení plochy na diferenciály - nekonečně malé plošky); tedy derivace umožňuje výpočet té nekonečně malé plošky: dS - diferenciálu
---
plochu je možné derivovat např. podle x
dS/dx - derivace plochy podle proměnné x
nebo podle času
dS/dt = S' (plošná rychlost)
a dále dle libosti ... možnosti jsou neomezené
Integrování je opačnou (inverzní) operací. Pokud jsme například v raketě bez oken, kde měříme jen zrychlení, jsme schopni zrekonstruovat, jak se postupně měnila rychlost. Z jedním omezením - jsme schopni stanovit průběh rychlosti, jen nevíme, jestli jsme začali na 0km/s, 8km/s, 10km/s, nebo třeba 25km/s. Proto nám ve výsledku integrace kromě funkce, která vyjadřuje průběh veličiny, otravuje ještě ta konstanta f(x)+c. Docela jinou věcí je pak tzv. určitý integrál, který má souvislost s plochou pod grafem funkce mezi dvěma body, kde se pak otravné konstatnty odečítají.
Hlavně ale nezapomeňte, že to co derivujeme nebo integrujeme, je závislost jedné veličiny na druhé, tedy funkce. A výsledek je opět funkce (výjimečně konstantní).
Ale vždycky jw to nakonec PODÍL PŘÍRŮSTKŮ o
...PODÍL PŘÍRŮSTKŮ těch dvou veličin a nikdy to nevyjadřuje jakoukoli plochu (což je fakticky vždy nějaký SOUČIN). A o to tady šlo Xifyredovi, který tenhle jediný bod původního cenobitova úříspěvku zpochybnil.