Jak vypočítat tuto soustavu 2 rovnic s proměnnými v kvadrátu ?
Původní zdroj obrázku: https://imgur.com/a/R6DDBwf
Odpovědi
Diskuze
https://www.wolframalpha.com/input?i=x%5E2+%2B+xy+%2B+y%5E2+%3D+19%2C+x%5E2+%2B2xy+-+y%5E2+%3D+7
2y^2 - xy - 12 = 0
x = 2(y^2 - 6)/y
1.rovnice PLUS 2.rovnice:
2x^2 + 3xy - 26 = 0
y = -2(x^2 - 13)/3x
y = -2/3x . (x^2 - 13)
Dosadit za "x":
y = (-2/3)y/2(y^2 - 6) . (4/y^2 . (y^2 - 6)^2 - 13)
(Ošklivé) úpravy výrazu:
1 = -1/3(y^2 - 6) . (4/y^2 . (y^2 - 6)^2 - 13)
-3 = 4/y^2 . (y^2 - 6) - 13/(y^2 - 6)
-3 = 4(y^2 - 6)/y^2 - 13/(y^2 - 6)
4(y^2 - 6)^2 - 13y^2 + 3y^2(y^2 - 6) = 0
4y^4 - 48y^2 + 4.36 - 13y^2 + 3y^4 - 18y^2 = 0
substituce:
y^2 = a
7a^2 - 79a + 144 = 0
Vyřešit kvadr.rovnici:
D = 79^2 - 28.144 = 2209 = 47^2
a1,2 = (79 +/- 47 ) / 14
y^2 = 9
y^2 = 16/7
a zde již máme řešení:
y1 = 3
y2 = -3
y3 = 4/odm(7)
y4 = 4/odm(7)
Dopočítáme k nim příslušná "x" z rovnice výše: x = 2(y^2 - 6)/y
=====================================
Jednodušší postup:
Podstata těch prvních úprav spočívá v tom, že se snažíme zbavit vždy jedné proměnné v druhé mocnině, abychom ji dostali jen v 1.mocnině a to mohli dosadit do druhé rovnice.
Toho docílíme tak, že si vyjádříme x^2 z 1.rovnice a dosadíme ji do druhé (stejného efektu odečtením rovnic od sebe, protože v obou je x^2, takže se od sebe odečtou). Tak získáme možnost vyjádřit si samostatné x, které můžeme dosadit zpátky přímo do 1.rovnice a už spočítat (stejně ošklivými úpravami) přímo y. Ani nemusíme dělat ten druhý součet rovnic (1.rovnice PLUS 2.rovnice) pro eliminaci y^2.
(1) x^2 + xy + y^2 = 19
(2) x^2 + 2xy - y^2 = 7
----------------------------
Z (1) si spočítáme "x" (je to normální kvadratická rovnice pro x) a toto x potom dosadíme do (2), tedy stejně jako kdybychom řešili běžnou soustavu například lineárních rovnic:
x^2 + xy + y^2 - 19 = 0
x^2 + y.x + (y^2 - 19) = 0
a.x^2 + b.x + c = 0
a = 1
b = y
c = y^2 - 19
D = b^2 - 4ac = y^2 - 4(y^2 - 19) = 76 - 3y^2
x1,2 = ( -b +/- odm(D) ) / 2a
x1,2 = ( -y +/- odm(76 - 3y^2) ) / 2
x1 = ( -y + odm(76 - 3y^2) ) / 2
x2 = ( -y - odm(76 - 3y^2) ) / 2
Dosadíme x1 do (2):
( -y + odm(76 - 3y^2) )^2 / 4 + y.(-y + odm(76 - 3y^2)) - y^2 - 7 = 0
(y^2 - 2y.odm(76 - 3y^2) + 76 - 3y^2) / 4 - y^2 + y.odm(76 - 3y^2) - y^2 - 7 = 0
vynásobit 4
-2y^2 - 2y.odm(76 - 3y^2) + 76 - 8y^2 + 4.odm(76 - 3y^2) - 28 = 0
10y^2 - 48 = 2y.odm(76 - 3y^2)
5y^2 - 24 = y.odm(76 - 3y^2)
umocnit na druhou
25y^4 - 240y^2 + 24^2 = y^2.(76 - 3y^2)
28y^4 - 316y^2 + 24^2 = 0
vydělit 4
7y^4 - 79y^2 + 144 = 0
Označme si tuto rovnici (3).
Provedeme substituci: y^2 = m
7m^2 - 79m + 144 = 0
řešení kvadr.rovnice:
D = 79^2 - 4.7.144 = 2209 = 47^2
m1,2 = (79 +/- 47) / 14
m1 = y1^2 = (79+47)/14 = 126/14 = 63/9 = 9
y11 = 3
y12 = -3
m2 = y2^2 = (79-47)/14 = 32/14 = 16/7
y21 = 4/odm(7)
y22 = -4/odm(7)
K těmto y dopočítáme x ze vztahu pro x1 výše.
-------------
Výše nám vyšlo kromě x1 také ještě x2. Když toto x2 dosadíme do (2), vyjde nám po úpravách stejná rovnice (3) a soustava tak nemá žádná další jiná řešení.
v řádku
-2y^2 - 2y.odm(76 - 3y^2) + 76 - 8y^2 + 4.odm(76 - 3y^2) - 28 = 0
mi vypadlo jedno y:
-2y^2 - 2y.odm(76 - 3y^2) + 76 - 8y^2 + 4y.odm(76 - 3y^2) - 28 = 0
a) y = kx vede k rovnicím
b) x² = 19/(1+k+k²)
c) x² = 7/(1+2k-k²)
->
7(1+k+k²)=19(1+2k-k²)
-> kvadratická rovnice
26k²-31k-12=0
s kořeny
k1 = 3/2, k2 = -4/13
Pak se z rovnic b), a) při k = 3/2 dopočítají kořeny
x1 = 2, y1 = 3
x2 = -2, y2 = -3
a podobně z rovnic c), a) při k = -4/13 kořeny
x3 = 13/√7, y3 = -4/√7
x4 = -13/√7, y4 = 4/√7
(Pokud jsem se nepřeklepl nebo nepopletl.)
To bude ono. Mě bylo divné, proč se může vypustit to "q" v rovnici y = kx+q