Pomoc s otázkou
V kolik hodin, minut a sekund budou ručičky (hodinová, minutová a vteřinová) na hodinách svírat stejné úhly?
a) Když uvažujeme, že každá ručička poskakuje po dílcích. Tzn. když je vteřinová na dvanáctce, tak minutová poskočí o jednu minutu a když je na dvanáctce minutová, tak hodinová najednou poskočí o hodinu (tj. na další číslo).
b) Když uvažujeme, že každá ručička se pohybuje spojitě. Tzn. každá ručička se bez poskakování pohybuje kolem dokola ciferníku. Minutová se všakpohybuje 60x pomaleji než vteřinová a hodinová 3600x pomaleji než vteřinová.
a) Když uvažujeme, že každá ručička poskakuje po dílcích. Tzn. když je vteřinová na dvanáctce, tak minutová poskočí o jednu minutu a když je na dvanáctce minutová, tak hodinová najednou poskočí o hodinu (tj. na další číslo).
b) Když uvažujeme, že každá ručička se pohybuje spojitě. Tzn. každá ručička se bez poskakování pohybuje kolem dokola ciferníku. Minutová se všakpohybuje 60x pomaleji než vteřinová a hodinová 3600x pomaleji než vteřinová.
Odpovědi
Diskuze
...
b) spojitý pohyb:
ω1=2π/(12*3600) (hodinová)
ω2=2π/3600 (minutová)
ω2=2π/60 (vteřinová)
---
1. nejprve vyšetříme, jak se potkávají hodinová a minutová ručička:
φ1=ω1*t
φ2=ω2*t-n*2π (n jsou celé oběhy minutové ručičky)
φ1=φ2
2π/(12*3600)*t=2π/3600*t-n*2π
1/(12*3600)*t=1/3600*t-n
n*3600/t=1-1/12
n*3600/t=1-1/12
n*3600/t=11/12
t=n*12/11*3600 (čas v sekundách, n je parametr v celých číslech)
1) pro n=0: t=0*12/11*3600 sec = 0*12/11 hod
2) pro n=1: t=1*12/11*3600 sec = 1*12/11 hod
3) pro n=2: t=2*12/11*3600 sec = 2*12/11 hod
...
11) pro n=10: t=10*12/11*3600 sec = 10*12/11 hod
12) pro n=11: t=11*12/11*3600 sec = 11*12/11 hod
Během 12 hodin dojde ke 12 konjunkcím hodinové a minutové ručičky po intervalu 12/11 hod.
---
2. vyšetříme, jak se potkávají minutová a vteřinová ručička:
φ2=ω2*t
φ3=ω3*t-m*2π (m jsou celé oběhy vteřinové ručičky)
φ2=φ3
2π/3600*t=2π/60*t-m*2π
1/3600*t=1/60*t-m
t=60*t-m*3600
m*3600=60*t-t
m*3600=59*t
t=m*1/59*3600 (čas v sekundách, m je parametr v celých číslech)
1) pro m=0: t=m*1/59*3600 sec = 0*1/59 hod
2) pro m=1: t=m*1/59*3600 sec = 1*1/59 hod
...
60) pro m=59: t=m*10/59*3600 sec = 59*1/59 hod
59*12) pro m=59*12: t=59*12*10/59*3600 sec = 59*12*1/59 hod = 12 hod
---
3. vyšetříme, jak se potkávají všechny tři hodinová, minutová a vteřinová ručička:
t=t
n*12/11*3600=m*1/59*3600
n*12/11=m*1/59
hledáme řešení této rovnice pro celá čísla:
n*59*12/11=m
kongruence:
n*59*12≡m (mod 11)
tato úloha má řešení pouze pro čísla:
n=0,m=0
n=11,m=59*12
Závěr:
Tři ručičky se setkávají pouze v 0hod a ve 12hod (tedy když jsou na čísle 12h)