Matematika DÚ

Cenobita.24.05.2021 13:13 (Upr. 20.09.2022 15:38) Nahlásit

Odpovědi

Přidat odpověď ▾

Diskuze

Cenobita.20.09.2022 15:43 (Upr. 20.09.2022 16:29) Nahlásit
-------------------------------------------------------------------------------

Vypočítejte výšku akvária ve tvaru kvádru, známe-li velikost základy a=30 cm, b=50 cm a víme, že má akvárium 60 litrů objem.

a=30 cm = 3 dm
b=50 cm = 5 dm
c=? dm
V=60 litrů = 60 dm3
V=a*b*c
60=3*5*c
c=60/15=4 dm
===

-------------------------------------------------------------------------------

Mistr s učněm mají vykonat práci.
Mistr ji udělá za 6 dní.
Mistr ji udělá za 10 dní.

v=V/t; rychlost práce

v(M)=V/6
v(U)=V/10

V(M) + V(U) = V
v(M)*T + v(u)*T = V
V/6*T + V/10*T = V
1/6*T + 1/10*T = 1
(1/6 + 1/10)*T = 1
(10/60 + 6/60)*T = 1
(16/60*T = 1
T = 60/16=3,75 dní
===

-------------------------------------------------------------------------------

Vodní nádrž se 1. přívodem naplní za 36 minut.
Vodní nádrž se 2. přívodem naplní za 45 minut.

za jak dlouho se naplní nádrž, když se 9 minut plní 1. přívodem a pak oběma přívody ?

v(1)=V/36
v(2)=V/45

v=V/t; rychlost plnění

V0+V1+V2=V
v(1)*9+v(1)*t + v(2)*t=V
V/36*9+V/36*t + V/45*t=V
1/36*9+1/36*t + 1/45*t=1
1/4+1/36*t + 1/45*t=1
1/36*t + 1/45*t=1-1/4
(1/36 + 1/45)*t=3/4
(1/36 *45/45 + 1/45 * 36/36)*t=3/4
(1/36 *45/45 + 1/45 * 36/36)*t=3/4

(45+36)/1620*t = 3/4
t = 3/4*1620/(45+36)=15 minut

T=t+9=24 minut
==============

-------------------------------------------------------------------------------

V Kocourkově se 1x ročně plní sýpka.
Kočky ji zaplní za 2 hodiny.
Kocouři ji zaplní za 5 hodin.
Myšky ji vyprázdní za 10 hodin.

Za jak dlouho by sýpku naplnili všichni najednou ?

v(k)=V/2
v(K)=V/5
v(m)=V/10

V(k)+V(K)+V(m)=V
V/2*T+V/5*T+V/10*T=V
1/2*T+1/5*T+1/10*T=1
(1/2+1/5+1/10)*T=1
(5/10+2/10+1/10)*T=1
(8/10)*T=1

T=10/8=1,25 hod = 1 hod 15 minut.
===
-------------------------------------------------------------------------------
Cenobita.02.10.2022 02:16 (Upr. 02.10.2022 15:11) Nahlásit
1)

( 15^(1/3) * 27^(-1/2) )^(-3) / ( 25^(1/4) * 9^(1/8) )^(-2) * ( 3 * 27^(1/4) )^(1/3) / ( 9^(1/3) )^(1/2) =
( 25^(1/4) * 9^(1/8) )^2 / ( 15^(1/3) * 27^(-1/2) )^3 * ( 3 * 27^(1/4) )^(1/3) / ( 9^(1/3) )^(1/2) =
( 5²^(2/4) * 9^(2/8) ) / ( 15^(3/3) * 27^(-3/2) ) * ( 3^(1/3) * 27^(1/12) ) / ( 9^(1/6) ) =
( 5 * (3²)^(1/4) ) / ( 15^(3/3) * (3³)^(-3/2) ) * ( 3^(1/3) * (3³)^(1/12) ) / ( (3²)^(1/6) ) =
( 5 * 3^(2/4) ) / ( 15 * (3)^(-9/2) ) * ( 3^(1/3) * (3)^(3/12) ) / ( (3)^(2/6) ) =
( 5 * 3^(1/2) ) / ( 3*5 * (3)^(-9/2) ) * ( 3^(1/3) * (3)^(1/4) ) / ( (3)^(1/3) ) =
( 5 * 3^(1/2 - 1 + 9/2) ) / ( 5 ) * ( 3^(1/3 + 1/4 - 1/3) ) =
( 3^(1/2 - 1 + 9/2) ) * ( 3^(1/3 + 1/4 - 1/3) ) =
3^(1/2 - 1 + 9/2 + 1/3 + 1/4 - 1/3) =
3^(17/4) = 3^(4 + 1/4) = 3^(3 + 1 + 1/4) =

= 3^3 * 3^(5/4) = 27 * 3^(5/4)
===

2)

( a^(5) * b^(1/2) * a^(-1/4) )^(1/3) / ( a² * (a*b³)^(1/5) )^2 =
( a^(5 - 1/4) * b^(1/2) )^(1/3) / ( a² * a^(1/5) * b^(3/5) )^2 =
( a^(20/4 - 1/4) * b^(1/2) )^(1/3) / ( a^4 * a^(2/5) * b^(6/5) ) =
( a^(1/3 * 19/4) * b^(1/6) ) / ( a^(4 + 2/5) * b^(6/5) ) =
( a^(19/12) * b^(1/6) ) / ( a^(20/5 + 2/5) * b^(6/5) ) =
( a^(19/12) * b^(1/6) ) / ( a^(22/5) * b^(6/5) ) =
( a^(19/12 - 22/5) * b^(1/6 - 6/5) ) =
( a^(19/12 * 5/5 - 22/5 * 12/12) * b^(5/30 - 36/30) ) =
( a^(5*19/60 - 12*22/60) * b^(-31/30) ) =
( a^(95/60 - 264/60) * b^(-31/30) ) =
( a^(-169/60) * b^(-31/30) ) =

= 1 / ( a^(169/60) * b^(31/30) )
================================

3)

( ( a^(4/3) )^(1/5) )^(3/2) / ( (a^4)^(1/5) )^3 * ( (a * (a² * b)^(1/3) )^(1/2) )^4 / ( ( a * b^(1/2) )^(1/3) )^6 =
a^(4/3 * 3/10) / a^(12/5) * (a * (a² * b)^(1/3) )^2 / ( a * b^(1/2) )^(2) =
a^(4/10) / a^(12/5) * a^(2) * (a² * b)^(2/3) / ( a^(2) * b^(2/2) ) =
a^(2/5) / a^(12/5) * a^(2) * a^(4/3) * b^(2/3) / ( a^2 * b ) =
a^(2/5 - 12/5 + 2 + 4/3 - 2) * b^(2/3 - 1) =
a^(-30/15 + 20/15) * b^(-1/3) =
a^(-10/15) * b^(-1/3) =
a^(-2/3) * b^(-1/3) =

= 1 / ( a^2 * b )^(1/3)
= 1 / ( a^(2/3) * b^(1/3) )
=========================

4)

( 2^(1/2) / (1-x²)^(-1) + 2^(3/2) / x^(-2) ) * x^(-2)/( 1+x^(-2) ) =
( 2^(1/2) * (1-x²) + 2^(3/2) * x² ) * 1/( x² + 1) =
( 2^(1/2) - 2^(1/2) * x² + 2^(3/2) * x² ) * 1/( x² + 1) =
( 2^(1/2) - 2^(1/2) * x² + 2^(1+1/2) * x² ) * 1/( x² + 1) =
( 2^(1/2) - 2^(1/2) * x² + 2*2^(1/2) * x² ) * 1/( x² + 1) =
2^(1/2)*( 1 - x² + 2*x² ) * 1/( x² + 1) =
2^(1/2)*( 1 + x² ) * 1/( x² + 1) =

= 2^(1/2) = √2
==============

5)

( 1/(a - √2) - (a² + 4)/( a³ - (√2)³ ) ) * ( a/√2 + 1 + √2/a ) =
( 1/(a - √2) - (a² + 4)/( a³ - (√2)³ ) ) * ( a² + a*√2 + 2 ) * 1/√2 * 1/a=

vzorec: a³ - b³ = (a-b)*(a²+ab+b²)

( (a²+a*√2+(√2)²)/(a²+a*√2+(√2)²)/(a - √2) - (a² + 4)/( a³ - (√2)³ ) ) * ( a² + a*√2 + 2 ) * 1/√2 * 1/a=
( (a²+a*√2+2)/( a³ - (√2)³ ) - (a² + 4)/( a³ - (√2)³ ) ) * ( a² + a*√2 + 2 ) * 1/√2 * 1/a=
(a*√2 - 2)/( a³ - (√2)³ ) * ( a² + a*√2 + 2 ) * 1/√2 * 1/a=
(a*√2*1/√2 - 2/√2)/( a³ - (√2)³ ) * ( a² + a*√2 + 2 ) * 1/a=
(a - √2)/( a³ - (√2)³ ) * ( a² + a*√2 + 2 ) * 1/a=

= 1/a
=====

6)

( (6/10)^0 - (1/10)^(-1) ) / ((3/2³)^(-1) * (3/2)^(3) * (-1/3)^(-1) )
( 1 - 10 ) / ( 2³/3 * (3/2)^(3) * (-3) ) =
( - 9 ) / ( 2³ * (3/2)^(3) * (-1) ) =
9 / ( 2³ * (3/2)^(3) ) =
3² / ( 2³ * (3/2)^(3) ) =
3^(2-3)/ ( 2³ * (1/2)^(3) ) =
3^(-1)/ 1 =

= 1/3
=====

7)

((√3 + √11)/(√3 - √11))² + ((√11 - √3)/(√11 + √3))² =
( (√3 + √11)/(√3 - √11) * (√3 + √11)/(√3 + √11) )² + ( (√11 - √3)/(√11 + √3) * (√11 - √3)/(√11 - √3) )² =
( (√3 + √11)²/(3 - 11) )² + ( (√11 - √3)²/(11 - 3) )² =
( (3 + 2*√3√11 + 11)/(-8) )² + ( (11 - 2*√11*√3 + 3)/(8) )² =
( (7 + √3√11)/(-4) )² + ( (7 - √11*√3)/(4) )² =
( (7 + √33)/(-4) )² + ( (7 - √33)/(4) )² =
(49 + 2*7*√33 + 33)/(16) + (49 - 2*7*√33 + 33)/(16) =
(49 + 33)/(16) + (49 + 33)/(16) =
2*(49 + 33)/(16) =
2*(82)/(16) =

= (41)/4
========
Cenobita.13.10.2022 10:55 (Upr. 13.10.2022 13:07) Nahlásit
1)

(a²/b² - a/b) / ( (a² + b²)/ab - 2 ) / (a²/ b) =
(a²/b² - a/b * b/b) / ( (a² + b²)/ab - 2 * ab/ab ) * b/a² =
(a²/b² - ab/b²) / ( (a² - 2ab + b²)/ab) * b/a² =
(a² - ab)/b / ( (a² - 2ab + b²)/ab) * 1/a² =
(a² - ab)/b * ab/( (a² - 2ab + b²)) * 1/a² =
(a² - ab) * 1/(a² - 2ab + b²) * 1/a =
a*(a - b) * 1/(a-b)² * 1/a =
a * 1/(a-b) * 1/a =

= 1/(a-b)
===

2)

√( 3/5 * ³√(3/5 * √(5/3) ) ) =
( 3/5 * (3/5 * √(5/3) )^(1/3) )^(1/2) =
( 3/5 * (3/5 * (5/3)^(1/2) )^(1/3) )^(1/2) =

((3/5)^(1/2) * (3/5 * (5/3)^(1/2) )^(1/6) ) =

(3/5)^(1/2) * (3/5)^(1/6) * (3/5)^(-1/12) =

(3/5)^(1/2 + 1/6 - 1/12) =
(3/5)^(6/12 + 2/12 - 1/12) =

= (3/5)^(7/12)
===

3)

( 2x/(x+y) + y/(x-y) + y²/(y²-x²) ) / ( 1/(x-y) + x/(x²-y²) ) =
( 2x/(x+y) * (x-y)/(x-y) + y/(x-y) * (x+y)/(x+y) - y²/(x²-y²) ) / ( 1/(x-y) * (x+y)/(x+y) + x/(x²-y²) ) =
( 2x/(x²-y²) * (x-y) + y/(x²-y²) * (x+y) - y²/(x²-y²) ) / ( 1/(x²-y²) * (x+y) + x/(x²-y²) ) =
( 2x*(x-y)/(x²-y²) + y*(x+y)/(x²-y²) - y²/(x²-y²) ) / ( (x+y)/(x²-y²) + x/(x²-y²) ) =
( (2x²-2xy)/(x²-y²) + (xy+y²)/(x²-y²) - y²/(x²-y²) ) * (x²-y²)/(2x+y) =
( (2x²-2xy) + (xy+y²) - y² ) /(2x+y) =

= (2x²-xy) /(2x+y)
= x*(2x-y) /(2x+y)
===

4)

√3(√3+√5) - √5(√3+√5) =
3+√(3*5) - √(3*5) - 5 =

3-5 = -2
===
Cenobita.08.11.2022 15:14 (Upr. 08.11.2022 16:05) Nahlásit
Př.

1. (x² + 1/x) / (x + 1/x -1) =
V: = 1+x

2. ( (a+b)/(a-b) - 1 ) / ( (a+b)/(a-b) + 1 ) =
V: = b/a


1. |x+1| + |x-2| = 3
2. 3x + |6x+5| = 1
3. |x-1| = 5

---

Př 1.

NB:
x+1 = 0
x = -1

x-2 = 0
x = 2


1) I1: (-∞,-1>

(x+1) , (x-2)
(-) , (-)

|x+1| + |x-2| = 3
-(x+1) + -(x-2) = 3
-2x = 2
x = -1
---

2) I2: <-1,+2>

(x+1) , (x-2)
(+) , (-)

|x+1| + |x-2| = 3
(x+1) + -(x-2) = 3
3 = 3; v tomto intervalu vyhovují všechna x
---

3) I3: <+2,+∞)

(x+1) , (x-2)
(+) , (+)

|x+1| + |x-2| = 3
(x+1) + (x-2) = 3
2x = 4
x = +2
---

K={x:<-1,+2>}

https://www.priklady.eu/cs/matematika/rovnice-s-absolutni-hodnotou.alej
Cenobita.14.11.2022 15:41 (Upr. 15.11.2022 13:05) Nahlásit
1. 5x*(x+4) / ( (x-4)*(2x-3) ) <=0
2. (2-x)*(x+1) / (x+7) < 0
3. (5x-2)*(x+7)*(x+3) / ( (x-7)*(x-3) ) <=0

1)

5x*(x+4) / ( (x-4)*(2x-3) ) <=0

D: x ∈ R - {+4,+3/2}

NB:
(x-0)=0; x=0
(x+4)=0; x=-4
(x-4)=0; x=+4
(2x-3)=0; x=+3/2

I1: (-∞,-4)
I2: (-4,0)
I3: (0,+3/2)
I4: (+3/2,+4)
I5: (+4,+∞)

I1: (-∞,-4); volím: -5
5x ; (x+4) ; (x-4) ; (2x-3)
- | - | - | - | (+)

I2: (-4,0); volím: -1
5x ; (x+4) ; (x-4) ; (2x-3)
- | + | - | - | (-)

...


2)

(2-x)*(x+1) / (x+7) < 0

D(f) = R \ {-7}
D: x ∈ R - {-7}

NB:
(2-x)=0;x=+2
(x+1)=0;x=-1
(x+7)=0;x=-7

3)

(5x-2)*(x+7)*(x+3) / ( (x-7)*(x-3) ) <=0
Cenobita.15.11.2022 13:32 (Upr. 21.11.2022 10:46) Nahlásit
1)

[ (1-x) / (1-x+x²) + (1+x) / (1+x+x²) ] / [ (1+x) / (1+x+x²) - (1-x) / (1-x+x²) ] =
[ (1-x)*(1+x+x²) + (1+x)*(1-x+x²) / (1-x+x²)*(1+x+x²) ] / [ (1+x)*(1-x+x²) - (1-x)*(1+x+x²) / (1+x+x²)*(1-x+x²) ] =
[ (1-x)*(1+x+x²) + (1+x)*(1-x+x²) ] / [ (1+x)*(1-x+x²) - (1-x)*(1+x+x²) ] =
[ ((1-x)+(1-x)*x+(1-x)*x²) + ((1+x)-(1+x)*x+(1+x)*x²) ] / [ ((1+x)-(1+x)*x+(1+x)*x²) - ((1-x)+(1-x)*x+(1-x)*x²) ] =
=[ 1+x² ] / [ x*x² ] =

[ 2 ] / [ 2*x*x² ] =

= 1 / [ x*x² ] = 1/x³
===

https://www.wolframalpha.com/input?i=%5B+%281-x%29+%2F+%281-x%2Bx%C2%B2%29+%2B+%281%2Bx%29+%2F+%281%2Bx%2Bx%C2%B2%29+%5D+%2F+%5B+%281%2Bx%29+%2F+%281%2Bx%2Bx%C2%B2%29+-+%281-x%29+%2F+%281-x%2Bx%C2%B2%29+%5D+%3D

2)

[ (a+b)/(a-b) - 1 ] / [ (a+b)/(a-b) + 1 ] =
[ (a+b)/(a-b) - (a-b)/(a-b) ] / [ (a+b)/(a-b) + (a-b)/(a-b) ] =
[ (2b)/(a-b) ] / [ (2a)/(a-b) ] =
= 2b/2a = b/a
===

3)

(x² + 1/x) / (x + 1/x - 1) =
(x*x² + 1)/x / (x*x + 1 - x)/x =
(x*x² + 1) / (x*x - x + 1) =
(x+1)*(x²-x+1) / (x*x - x + 1) =
=x+1
====

?)

x=?

x = 5 (mod 18)
x = 5 (mod 21)
x = 5 (mod 24)

NSN: LCM(18,21,24)=504

x=504*n + 5
===========


?)

(√(2a) - 2a/(a+√(2a))) : (√(2a) - 2)/(a-2) =
(√(2a) - 2a/(a+√(2a))) * (a-2)/(√(2a) - 2) =
(√(2a)*(a+√(2a)) - 2a)/(a+√(2a)) * (a-2)/(√(2a) - 2) =
(√(2a)*a+√(2a)*√(2a) - 2a)/(a+√(2a)) * (a-2)/(√(2a) - 2) =

(√(2a)*a+2a - 2a)/(a+√(2a)) * (a-2)/(√(2a) - 2) =
(√(2a)*a)/(a+√(2a)) * (a-2)/(√(2a) - 2) * (√(2a) + 2)/(√(2a) + 2) =
(√(2a)*a)/(a+√(2a)) * (a-2)/((2a) - 4) * (√(2a) + 2) =
(√(2a)*a)/(a+√(2a)) * 1/2 * (√(2a) + 2) =
a/(a+√(2a)) * 1/2 * (2a + 2*√(2a)) =
a/(a+√(2a)) * (a + √(2a)) = a

?) [?]

7) [4]

⁵√( ( a^(1/2)*a^(-1) / (³√a) ) ^ (-3) ) =
⁵√( ( a^(1/2 - 1 - 1/3) ) ^ (-3) ) =
⁵√( ( a^(3/6 - 6/6 - 2/6) ) ^ (-3) ) =
⁵√( ( a^(-5/6) ) ^ (-3) ) =
⁵√( ( a^( (-3) * (-5/6) ) ) =
⁵√( a^( 5/2 ) ) =
= a^( 1/2 ) = √a
===

8) [3]

(10^(1/3)*8^(-1/2))^(-3) / (25^(1/4)*4^(1/8))^(-2) : √(2*³√4)/³√(2*⁴√8) =
(25^(1/4)*4^(1/8))^2 /(10^(1/3)*8^(-1/2))^3 : √(2*³√4)/³√(2*⁴√8) =
A / B =

A =
(25^(1/4)*4^(1/8))^2 /(10^(1/3)*8^(-1/2))^3 =
(2^(1/2)) /(2 * 2^(-9/2)) =
=16=2^4
-------
√(2*³√4) / ³√(2*⁴√8) =
(2*4^(1/3))^(1/2) / (2*8^(1/4))^(1/3) =
2^(5/6) / (2^(1+3/4))^(1/3) =
2^(5/6) / 2^(7/12) =
2^(10/12 - 7/12) = 2^(3/12) =
=2^(1/4)
--------

= A/B = 2^4 / 2^(1/4) = 2^(4 - 1/4) = 2^(16/4 - 1/4) = 2^(15/4)

= 2^(15/4)
===
c) je správně

9) [18]

(4 - 2/(√x + 1))*(1 + √x/(√x - 1)) - 6/(x-1) =

=8
===

10) [9]

2*a^(1/3)/(a^(4/3)-3*a^(1/3)) - a^(2/3)/(a^(5/3)-a^(2/3)) - (a+1)/(a^2-4a+3) =
2*a^(1/3)/(a^(3/3+1/3)-3*a^(1/3)) - a^(2/3)/(a^(3/3+2/3)-a^(2/3)) - (a+1)/(a^2-4a+3) =
2/(a^(3/3)-3) - 1/(a^(3/3)-1) - (a+1)/(a^2-4a+3) =
2/(a-3) - 1/(a-1) - (a+1)/(a^2-4a+3)=
(2*(a-1) - (a-3) )/ (a-3)*(a-1) - (a+1)/(a^2-4a+3)=
((a+1) )/ (a-3)*(a-1) - (a+1)/(a^2-4a+3)=
((a+1) )/ (a^2-4a+3) - (a+1)/(a^2-4a+3)=

=0
===
d) je správně
Cenobita.16.11.2022 16:06 (Upr. 21.11.2022 10:34) Nahlásit
VZORCE:

(a+b)²=a²+2ab+b²
(a-b)²=a²-2ab+b²

a²-b²=(a-b)*(a+b)

a³-b³=(a-b)*(a²+ab+b²)
a³+b³=(a+b)*(a²-ab+b²)
Cenobita.18.11.2022 12:19 (Upr. 30.11.2022 15:54) Nahlásit
1) -3x > 6; v oboru R - reálná čísla

-3x > 6
+3x = +3x
=--------
0 > 6 + 3x
-6 > 3x
-2 > x
x < -2
======

x=(-∞,-2); správně je: a) b)
==========

2) -5x>=-1; v oboru N - přirozená čísla

-5x>=-1
+5x=+5x
+1=+1
=------
1>=5x; :5 (vydělíme pěti)
1/5>=x
x<=1/5
======

N={0,1,2,3, ...}; správně je: d)

K={0}
=====

N={1,2,3, ...}; správně je: a)

K={}=0=∅
=====

https://cs.wikipedia.org/wiki/Pr%C3%A1zdn%C3%A1_mno%C5%BEina

3) 6-2x <= 3x-4; v intervalu (0,3)

6-2x <= 3x-4
10 <= 5x
10/5 <= x
x >= 2
======

K=<2,3)
=======

4) 2x-5< 4-x; největší číslo, které je řešením v oboru: Z - celá čísla

2x-5< 4-x
3x<9
x < 9/3
x < 3
=====

x=2; správně je: c)
=====

https://www.vypocitejto.cz/zaklady-matematiky/ciselne-obory/
Cenobita.02.12.2022 15:59 (Upr. 26.12.2022 11:00) Nahlásit
ADVENT

Definiční obor a obor hodnot:

https://www.doucovanimatematiky.com/ke-stazeni/vyresene-priklady-s-celym-postupem-vypoctu/Definicni-obor-funkce.pdf

https://www.matweb.cz/funkce/

https://www.matweb.cz/definicni-obor/

https://www2.karlin.mff.cuni.cz/~portal/funkce/?page=dfhf

https://www.priklady.eu/cs/matematika/funkce/definicni-obor-funkce.alej

https://skolaposkole.cz/matematika-zs/9-rocnik/soustava-rovnic-o-dvou-neznamych

https://cs.wikipedia.org/wiki/Matematick%C3%A9_symboly_a_zna%C4%8Dky

https://www.matweb.cz/mnozinove-operace/

http://kalendar.o-testy.cz/soubory/t1/1.jpg

1)

( x/y + y/x - 1 )*( x/y + y/x + 1 )*(x²-y²) / (x⁴/y² - y⁴/x²) =
subst: x/y=z
( x/y + y/x - 1 )*( x/y + y/x + 1 )*(x²/y²-y²/y²) / (x⁴/y²y² - y⁴/x²y²) =
( z + 1/z - 1 )*( z + 1/z + 1 )*(z²-1) / (z⁴ - 1/z²) =
( z² + 1 - z )*( z² + 1 - z )*(z²-1) / (z²z⁴ - 1) =
( (z² + 1)² - z² )*(z²-1) / (z²z⁴ - 1) =
( z²z² + z² + 1)*(z²-1) / (z²z⁴ - 1) =
( z²z²*z² - z²z² + z²*z² - z² + z² - 1 ) / (z²z⁴ - 1) =
( z²z²*z² - 1 ) / (z²z⁴ - 1) = 1

( (z² + 1)*(z²*z² - z² + (z²-1)) - z²*(z²-1) ) / (z²z⁴ - 1) =
( z²*(z²*z² - 1) + (z²*z² - 1) - (z²*z² - z²) ) / (z²z⁴ - 1) =
( z²*(z²*z² - 1) + ( - 1) - ( - z²) ) / (z²z⁴ - 1) =
( (z²*z²*z² - z²) + ( - 1) - ( - z²) ) / (z²z⁴ - 1) =
( (z²*z²*z² ) - 1 ) / (z²z⁴ - 1) =
= 1
===
Cenobita.02.12.2022 16:22 (Upr. 26.12.2022 11:17) Nahlásit
2)

a*((√a + √b)/(2b√a))^-1 + b*((√a + √b)/(2a√b))^-1
_______________________________________________ =

((a + √ab)/(2ab))^-1 + ((b + √ab)/(2ab))^-1


2ab√a/(√a + √b) + 2ab√b/(√a + √b)
__________________________________ =

(2ab)/(a + √ab) + (2ab)/(b + √ab)


2ab(√a + √b)/(√a + √b)
__________________________________ =

(2ab)/(a + √ab) + (2ab)/(b + √ab)

1
__________________________________ =

1/(a + √ab) + 1/(b + √ab)

1
__________________________________ =

(b + √ab) / (a + √ab)(b + √ab) + (a + √ab) / (b + √ab)(a + √ab)


(a + √ab)(b + √ab)
__________________________________ =

(b + √ab) + (a + √ab)

(a + √ab)(b + √ab) / ((b + √ab) + (a + √ab)) =
(ab + b√ab) + (a√ab + √ab√ab) / (a + 2√ab +b) =
(ab + b√ab) + (a√ab + ab) / (a + 2√ab +b) =
(2ab + (a+b)√ab)) / (√a + √b)² =
(2√ab√ab + (a+b)√ab)) / (√a + √b)² =
√ab*(2√ab + (a+b)) / (√a + √b)² =
√ab*(√a + √b)² / (√a + √b)² =

=√ab
====
Cenobita.02.12.2022 16:37 (Upr. 02.12.2022 20:10) Nahlásit
3)

v1=4 km/h
t1=T+45 min = T+3/4 hod

v2=6 km/h
t2=T-30 min = T-1/2 hod

s1=s2
v1*t1=v2*t2
4*(T+3/4) = 6*(T-1/2)
4*3/4 + 6*1/2 = (6-4)*T
(4*3/4 + 6*1/2)/(6-4) = T
T=3 hod

t1=T+45 min = T+3/4 hod = 3+3/4 hod = 3,7 hod
t2=T-30 min = T-1/2 hod = 3-1/2 hod = 2,5 hod

s1=v1*t1=4*3,75=15 km
s2=v2*t2=6*2,5=15 km
===
Cenobita.02.12.2022 21:01 (Upr. 07.12.2022 12:33) Nahlásit
4)

Zadání:

f: y=|x+3|+|2x-4|

Nulové body:

x+3=0
x=-3

2x-4=0
x=+2

y=|x+3|+|2x-4|

NB: 2

Intervaly a znaménka:

___________(x+3) (2x-4)
I1: (-∞,-3> - -
I2: <-3,+2> + -
I3: <+2,+∞) + +

I1:
y=-(x+3)-(2x-4) = -3x+1
(-3,10)
I2:
y=+(x+3)-(2x-4) = -x+7
(-3,10),(+2,+5)
I3:
y=+(x+3)+(2x-4) = +3x-1
(+2,+5)

Definiční obor:

D(f) = R

Obor hodnot:

H(f) = <+5,∞>

https://www.wolframalpha.com/input?i=y%3D%7Cx%2B3%7C%2B%7C2x-4%7C
Cenobita.03.12.2022 11:16 Nahlásit
5)

v1=16 kroků/kmen
v2=112 kroků/kmen

v0 - rychlost chůze
v - rychlost povozu

chůze ve směru:
v0-v=v1

chůze v protisměru:
v0+v=v2

soustava dvou rovnice o dvou neznámých:
v0-v=16
v0+v=112

2*v0=112+16=128

v0=64 kroků/kmen
======
Cenobita.03.12.2022 13:40 (Upr. 07.12.2022 12:33) Nahlásit
6) 9)

f: y=-|x-2|+|2x+2|-x

Nulové body:

(x-2)=0
x=+2

(2x+2)=0
x=-1

(x)=0
x=0

NB:3

___________(x-2),(2x+2)
I1: (-∞,-1> - , -
I2: <-1,0> - , +
I3: <0,+2> - , +
I4: <+2,+∞) + , +

f: y=-|x-2|+|2x+2|-x

I1:
y=+(x-2)-(2x+2)-(x)
y=-2x-4
(-2,0),(-1,-2)
---
I2:
y=+(x-2)+(2x+2)-(x)
y=2x
(-1,-2),(0,0)
---
I3:
y=+(x-2)+(2x+2)-(x)
y=2x
(0,0),(2,4)
---
I4:
y=-(x-2)+(2x+2)-(x)
y=4
x=<+2,+∞)

Definiční obor:

D(f) = R

Obor hodnot:

H(f) = <-2,+∞>


https://www.wolframalpha.com/input?i=+y%3D-%7Cx-2%7C%2B%7C2x%2B2%7C-x
Cenobita.03.12.2022 14:28 Nahlásit
7)

V'(A)=V/45 d
V'(B)=V/35 d

T(A)=13 d
T(AB)=? d

T=T(A)+T(AB)

V=V(A1) + V(A2) + V(B2)
V=V'(A)*T(A) + V'(A)*T(AB) + V'(B)*T(AB)
V=V/45*T(A) + V/45*T(AB) + V/35*T(AB)
1=1/45*T(A) + 1/45*T(AB) + 1/35*T(AB)
1=13/45 + T(AB)/45 + T(AB)/35
1=13/45 + T(AB)*(1/45 + 1/35)
(1 - 13/45)/(1/45 + 1/35) = T(AB)
T(AB)=14 d
==========

T=T(A)+T(AB)
T=13+14=28 d
============

Celá práce bude hotová za celkem 28 dní.
Cenobita.03.12.2022 14:35 Nahlásit
8)

a+b+c=100

b/a=5 (1)

c/b=5 (1)

---
a+b+c=100
b=5a+1
c=5b+1

---
a+5a+1+5(b)+1=100
a+5a+1+5(5a+1)+1=100
31a+7=100
31a=93
a = 93/31 = 3
b = 5a+1 = 5*3+1=16
c = 5b+1 = 5*16+1=81
===
Cenobita.03.12.2022 17:12 (Upr. 07.12.2022 12:32) Nahlásit
10)

f: y=2*|-x+3|-|3x-3|+|x|

Nulové body:

-x+3=0
x=+3
----
3x-3=0
x=1
----
x=0
----

____________(-x+3) (3x-3) (x)
I1: (-∞,0> + - -
I2: <0,+1> + - +
I3: <+1,+3> + + +
I4: <+3,+∞> - + +


y=2*|-x+3|-|3x-3|+|x|

I1:
y=2*(-x+3)+(3x-3)-(x)
y=+3
====

I2:
y=2*(-x+3)+(3x-3)+(x)
y=2x+3
======

I3:
y=2*(-x+3)-(3x-3)+(x)
y=-4x+9
=======

I4:
y=-2*(-x+3)-(3x-3)+(x)
y=-3
====

Definiční obor:

D(f)=R

Obor hodnot:

H(f) = <-3,+5>


Průsečíky s osami kartézského systému:

1) x=0; y=3; {0,3}
2) y=-4x+9; y=0; x=9/4; {9/4,0}
Cenobita.03.12.2022 17:15 (Upr. 04.12.2022 07:55) Nahlásit
11)

(x-3)/4 - (y-3)/3 = 2y-x
3*4*(x-3)/4 - 3*4*(y-3)/3 = 3*4*(2y-x)
3*(x-3) - 4*(y-3) = 12*(2y-x)
(3x-9) - (4y-12) = 24y-12x
3x-9 - 4y+12 = 24y-12x
15x - 28y + 3 = 0

(x+1)/3 - (y+2)/4 = 2(x-y)/5
3*4*5*(x+1)/3 - 3*4*5*(y+2)/4 = 3*4*5*2(x-y)/5
4*5*(x+1) - 3*5*(y+2) = 3*4*2(x-y)
(20x+20) - (15y+30) = (24x-24y)
4x - 9y + 10 = 0

15x - 28y + 3 = 0
4x - 9y + 10 = 0

x=11
y=6
====

x - 28/15*y + 3/15 = 0
x - 9/4*y + 10/4 = 0

x - 28/15*y + 1/5 = 0
x - 9/4*y + 5/2 = 0

x - x - 28/15*y + 9/4*y + 1/5 - 5/2 = 0
(9/4 - 28/15)*y = (5/2 - 1/5)
( 15*9/(4*15) - 4*28/(15*4) )*y = ( 5*5/(2*5) - 2*1/(5*2) )
( 15*9/(4*15) - 4*28/(15*4) )*y = (25/10 - 2/10)
( 15*9/(4*15) - 4*28/(15*4) )*y = 23/10
( (15*9-4*28)/(4*15) )*y = 23/10
( 23/(4*15) )*y = 23/10
( 1/(4*15) )*y = 1/10
y = 1/10 * (4*15) = 2*3 = 6
===

4x - 9y + 10 = 0
4x - 9*6 + 10 = 0
x = (54-10)/4 = 11
===
Cenobita.04.12.2022 08:21 Nahlásit
12)


(c-3)/(j+2) = 1/3
(c+1)/(j-1) = 3/4

(c-3) = 1/3*(j+2)
(c+1) = 3/4*(j-1)

c-3 = (1/3*j + 2/3)
c+1 = (3/4*j - 3/4)

(c-3) - (c+1) = (1/3*j + 2/3) - (3/4*j - 3/4)
- 4 = 2/3 + 1/3*j - 3/4*j + 3/4
(3/4 - 1/3)*j = 2/3 + 3/4 + 4
(3*3/(4*3) - 4*1/(3*4))*j = 4*2/(3*4) + 3*3/(4*3) + 4
(9/12 - 4/12)*j = 8/12 + 9/12 + 4
(9 - 4)*j = 8 + 9 + 4*12
5*j = 65
j=13
====

(c+1)/(j-1) = 3/4
(c+1)/(13-1) = 3/4
c = 3/4 * 12 - 1 = 8
c=8
===
Cenobita.04.12.2022 20:56 Nahlásit
13)

(√x - 1/√x)*( (√x+1)/(√x-1) + 4√x - (√x-1)/(√x+1) )=
(√x - 1/√x)*( (√x+1)*(√x+1)/((√x-1)*(√x+1)) + 4√x - (√x-1)(√x-1)/((√x+1)*(√x-1)) )=
(√x - 1/√x)*( (√x+1)²/(x-1) + 4√x - (√x-1)²/(x-1) )=
(√x - 1/√x)*( (x+2√x+1)/(x-1) + 4√x - (x-2√x+1)/(x-1) )=
(√x - 1/√x)*( (4√x)/(x-1) + 4√x)=
√x(√x - 1/√x)*( 4/(x-1) + 4)=
4(x-1)*( 1/(x-1) + 1 )=
4*( 1 + (x-1) )=
=4*x
====
Cenobita.04.12.2022 21:32 Nahlásit
14)

a)
V1=42 l
V2=30 l
V3=42+30=72 l
T3=25°C
b)
V1=18 l
V2=54 l
V3=18+54=72 l
T3=21°C

T1=?
T2=?

Q1=V1*c*T1
Q2=V2*c*T2
Q3=V3*c*T3

Q3=Q1+Q2; kalorimetrická rovnice

směšovací rovnice:
V3=V1+V2
V3*T3=V1*T1+V2*T2

a)
72*25=42*T1+30*T2
b)
72*21=18*T1+54*T2

soustava 2R2N:
72*25=42*T1+30*T2
72*21=18*T1+54*T2

72*25=42*T1+30*T2
72*21/18*42=42*T1+54/18*42*T2

72*25 - 72*21/18*42=(30 - 54/18*42)*T2
(72*25 - 72*21/18*42)/(30 - 54/18*42)=T2
(72*25*18 - 72*21*42)/(30*18 - 54*42)=T2
T2=18°C
=======

72*21=18*T1+54*T2
(72*21-54*18)/18=T1
T1=30°C
=======
Cenobita.04.12.2022 21:43 Nahlásit
15)

(3x-4)/(3y+4)=1/2
(2x-y)/(2x+y)=1/4

Řešení:
x=14/3
y=16/3

2(3x-4)=(3y+4)
4(2x-y)=(2x+y)

6x-8=3y+4
8x-4y=2x+y

6x-3y-12=0
6x-5y=0

6x-3y-(-5y)-12=0
2y-12=0
y=12/2
y=6
===

6x-5y=0
6x-5*6=0
x=30/6=5
x=5
====

Zkouška:
(3x-4)/(3y+4)=1/2
(2x-y)/(2x+y)=1/4

(3*5-4)/(3*6+4)=1/2
(2*5-6)/(2*5+6)=1/4

11/22=1/2; OK
4/16=1/4; OK
Cenobita.04.12.2022 22:46 (Upr. 26.12.2022 11:34) Nahlásit
16)

V'=V/t; objemový průtok tekutiny

a) t1=1 hod
b) t2=45 min = 3/4 hod
c) t3=1 hod 30 min = 1,5 hod = 3/2 hod

V=(V'A+V'C)*t1
V=(V'A+V'B)*t2
V=(V'B+V'C)*t3

V=(V'A+V'C)*1
V=(V'A+V'B)*3/4
V=(V'B+V'C)*3/2

V=(V'A+V'C)*1
2V=(V'A+V'B)*3/2
V=(V'B+V'C)*3/2

2V=(V'A+V'B)*3/2
-
V=(V'B+V'C)*3/2
=
V=(V'A+V'B)*3/2 - (V'B+V'C)*3/2
2/3*V=(V'A - V'C)

V=(V'A+V'C)
+
2/3*V=(V'A - V'C)
=
5/3*V=2*V'A
V'A=5/6*V
---------

V=(V'A+V'C)*1
V'C=V-V'A
V'C=V-5/6*V
V'C=1/6*V
---------

V=(V'B+1/6*V)*3/2
V'B=2/3*V-1/6*V
V'B=3/6*V
V'B=1/2*V
---------

V/tA=V'A
V/tA=5/6*V
tA=6/5 = 1 + 1/5 hod = 1 + 12/60 hod = 1 hod 12 minut
======

V/tB=V'B
V/tB=1/2*V
tB=2/1
tB=2 hod
========

V/tC=V'C
V/tC=1/6*V
tC=6 hod
========

Zkouška:
V=(V'A+V'C)*1
V=(5/6*V+1/6*V)
V=(6/6*V); OK

V=(V'A+V'B)*3/4
V=(5/6*V+1/2*V)*3/4
V=(5/6*V+3/6*V)*3/4
V=(8/6*V)*3/4
V=(24/24*V); OK

V=(V'B+V'C)*3/2
V=(1/2*V+1/6*V)*3/2
V=(3/6*V+1/6*V)*3/2
V=(4/6*V)*3/2
V=(12/12*V); OK
Cenobita.05.12.2022 09:45 Nahlásit
18)

v = 420 m/den; to je denní norma prací
vd = 6m/den; denní výkon jednoho dělníka

v=n*vd

n=v/vd=420/6=70 dělníků; je teba aby se pracovalo podle denní normy prací

n2=n-22; snížený počet dělníků, pokud s nimi pracují tři stroje
vd2=5m/den; denní výkondělníka, pokud pracuje se stroji

vs - rychlost výkon jednoho stroje
3*vs - rychlost práce tří strojů

v = n2*vd2 + 3*vs
420 = (70-22)*5 + 3*vs
(420 - (70-22)*5)/3 = vs
vs=60 m/den
=========
Cenobita.05.12.2022 12:00 Nahlásit
19)

x²y²*[ 1/(x+y)² * (1/x² + 1/y²) + 2/(x+y)³ * (1/x + 1/y) ] =
x²y²*[ 1/(x+y)² * ((x²+y²)/x²y²) + 2/(x+y)³ * (x+y)/xy ] =
[ 1/(x+y)² * (x²+y²) + xy*2/(x+y)² ] =
[ (x²+y²)/(x+y)² + xy*2/(x+y)² ] =
[ x²+2xy +y² ] / (x+y)² =
(x+y)² / (x+y)² = 1
===
Cenobita.05.12.2022 15:47 Nahlásit
21)

V'A*tA + V'B*tB + V'C*tC = V

V'A*6 + V'B*4 + V'C*10 = 390
V'A*5 + V'B*2 + V'C*10 = 305
V'A*3 + V'B*2 + V'C*10 = 255

x*6 + y*4 + z*10 = 390
x*5 + y*2 + z*10 = 305
x*3 + y*2 + z*10 = 255

x*6 + y*4 + z*10 = 390;x*5 + y*2 + z*10 = 305;x*3 + y*2 + z*10 = 255
x=25
y=30
z=12

x*6 + y*4 + z*10 = 390
x*(5-3) = 305-255
x = (305-255)/(5-3)=25 m3/h
===

x*(6-5) + y*(4-2) = 390-305
(305-255)/(5-3)*(6-5) + y*(4-2) = 390-305
y = (390-305) - (305-255)/(5-3)*(6-5) )/(4-2)=

x*(6-5) + y*(4-2) = (390-305)
y = ( (390-305) - 25*(6-5) ) / (4-2) = 30 m3/hod
===

x*3 + y*2 + z*10 = 255
25*3 + 30*2 + z*10 = 255
z = (255 - 25*3 - 30*2) / 10 = 12 m3/hod
===
Cenobita.05.12.2022 16:41 (Upr. 26.12.2022 10:54) Nahlásit
22)

((-x²+5)/2 - 2) * ( (x+1)/(x-1) - (x-1)/(x+1) ) <= 22

x≠+1
----
x≠-1
----

((-x²+5)/2 - 4/2) * ( (x+1)²/(x²-1²) - (x-1)²/(x²-1²) ) <= 22
(-x²+1)/2) * ( (x²+2x+1)/(x²-1²) - (x²-2x+1)/(x²-1²) ) <= 22
(1-x²)/2 * (4x)/(x²-1²) <= 22
-(x²-1) * (2x)/(x²-1²) <= 22
-(2x) <= 22
-22 <= 2x
-11 <= x
x >= -11
--------

x ∈ ℕ - {-1,-1}
x ∈ ℕ \ {-1,+1}
===============
Cenobita.06.12.2022 13:50 (Upr. 06.12.2022 14:03) Nahlásit
23)

x+2y+5=0
y+1=0

Správnému řešení je obrázek: C)

Řešení soustavy rovnic je:

x=-3
y=-1
Cenobita.06.12.2022 13:50 (Upr. 26.12.2022 11:57) Nahlásit
24)

|x+1|+2|2-x|=2|x+2|

Nulové body:

x+1=0
x=-1

2-x=0
x=2

x+2=0
x=-2

Intervaly:

Znaménka:

____________(x+1) (2-x) (x+2)
I1: (-∞,-2> - + -
I2: <-2,-1> - + +
----------------------------
I3: <-1,+2> + + +
I4: <+2,+∞> + - +

I1: nevyhovuje
-(x+1)+2(2-x)=-2(x+2)
x=7; x≠(-∞,-2>
---
zkouška:
|x+1|+2|2-x|=2|x+2|
18=18; OK

I2: nevyhovuje
-(x+1)+2(2-x)=+2(x+2)
-x-1+(-2x)=(2x+)
x=-1/5; x≠<-2,-1>

I3: vyhovuje
+(x+1)+2(2-x)=+2(x+2)
x=1/3; x=<-1,+2>
=====
zkouška:
|1/3+1|+2|2-1/3|=2|1/3+2|
4/3+10/3 = 14/3; OK

I4: vyhovuje
+(x+1)-2(2-x)=+2(x+2)
x=7; x=<+2,+∞>
===
---
zkouška:
|x+1|+2|2-x|=2|x+2|
8+10=2*9; OK

Řešení: 1/3 + 7 = 22/3
======================
Cenobita.08.12.2022 16:28 (Upr. 11.12.2022 20:37) Nahlásit
https://math.fel.cvut.cz/mt/txtz/0/txc3za0d.htm

ℝ - reálná čísla (-∞,+∞)
ℕ - přirozená <1,2, ... , +∞)
ℤ - celá čísla {0,1,−1,2,−2,3,−3,...}
ℚ - racionální

1) Množina všech řešení nerovnice 10+7x<=5-3x v intervalu <-2,2> je:

a) <-1/2,+2>
b) <-2,-1/2>
c) (-∞,-1/2>
d) <-2,+2>

10+7x<=5-3x
10x<=-5
x<=-1/2

b) je správně
=============

2.) Množina všech řešení nerovnice (1+x)/3 - (8-3x)/2 < 3x/2 - 2; v množině N je:

a) N
b) {1,2,3,4}
c) (+1,+5)
d) {1,2,3,4,5}

(1+x)/3 - (8-3x)/2 < 3x/2 - 2
(1+x)/3 - 4 + 3x/2 < 3x/2 - 2
(1+x)/3 < 2
x < 6-1
x < 5
-----
b) {1,2,3,4} je správně
=======================

3.) Množina všech řešení nerovnice (x-2)²>=(x+1)*(x-5); v množině R je:

a) <9/8,+∞)
b) (-∞,9/8>
c) R
d) 0,{}

(x-2)²>=(x+1)*(x-5)
x²-4x+4>=x²-x*5+x-5
+4>=-5; pravda

c) je správně
=============
Cenobita.13.12.2022 09:32 Nahlásit
Zadání:

(3x-2y)/5 - (5x-3y)/3 = x+1

(2x-3y)/3 + (4x-3y)/3 = y

Rozbor: 2R2N

Úpravy 1.R:
(3x-2y)/5 - (5x-3y)/3 = x+1 |*3 *5 (=15)
3(3x-2y) - 5(5x-3y) = 15(x+1)
9x-6y - 25x+15y = 15x+15
9y = 31x+15

Úpravy 2.R:
(2x-3y)/3 + (4x-3y)/3 = y |*3
6x = 9y
2x = 3y

Soustava 2R2N:
9y = 31x+15
2x = 3y

9y = 31x+15
6x = 9y

9y=9y
31x+15 = 6x
25x+15 = 0
x = -15/25
x = -3/5
========

2x = 3y
x = -3/5
2(x) = 3y
2(-3/5) = 3y
y=-2/5
======

K={-3/5,-2/5}
=============
Cenobita.14.12.2022 15:38 Nahlásit
(2x+1)/(x+2) > 1; x≠-2

(2x+1) > 1*(x+2)
2x+1 > x+2
x > 1


(2x+1)/(x+2) > 1; x≠-2
(2x+1)/(x+2) - 1 > 0
( (2x+1) - (x+2) )/ (x+2) > 0
( (x-1)/(x+2) > 0


(x-1) / (x+2)
I1: (-∞,-2) +
I2: <-2,+1> -
I3: (+1,+∞) +

x € (-∞,-2) V (+1,+∞)
=====================
Cenobita.07.01.2023 00:01 (Upr. 10.01.2023 13:40) Nahlásit
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
10)

7. Řešte soustavu rovnic (výsledek zapište např. ve tvaru x=5,y=-3 nebo také rovnice nemá řešení)

x+4y=37
2x+5y=53

2x+8y=2*37
2x+5y=53

y=(2*37-53)/3=7
x=37-4*7=9

x=9,y=7
=======
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
9)

1. Na čtverečkovaný papír nakreslete níže uvedené grafy,
u jednotlivých jeho částí určete početně rovnice lineárních funkcí.

y=|x+3|+|2x-4|
y=-|x-2|+|2x+2|-x
y=2|-x+3|-|3x-3|+|x|
===
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
8)

1. Ciferný součet dvojciferného čísla je 8.
Zaměníme-li pořadí číslic, dostaneme číslo o 18 menší než původní číslo.
Do odpvědi zapište menší číslo.

a+b=8
b*10+a=a*10+b - 18

a+b=8
9*(a-b) = 18

a+b=8
a-b = 2

a+b=8
a-b = 2

2a=10
a=5
b=3

Zkouška

53, 5+3=8
35=53-18

35<53

Odpověď: 35
===
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
7)

5. Řešte soustavu rovnic (výsledek zapište např. ve tvaru x=5,y=-3 nebo také rovnice nemá řešení)

4x-3y=0
-5x+2y=7

x=-3
y=-4
====
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
6)

15. Dělník Arnošt vykope příkop sám za 7 hodin, dělník Béďa za 6 hodin.
Výkop má být dokončen za 2 hodiny, proto přibrali ještě dělníka Cecila.
Za jak dlouho by vykopal Cecil příkop sám?
Odpověď zapište v hodinách bez jednotky např. 4,45

tA=7 hod
tB=6 hod
tC=?

VA'=V/tA
VB'=V/tB
VC'=V/tC

V=VA'*t+VB'*t+VC'*t
V=V/tA*t+V/tB*t+V/tC*t
1=1/tA*t+1/tB*t+1/tC*t
1/t=(1/tA+1/tB+1/tC)
1/2=(1/7+1/6+1/tC)
(1/2-1/7-1/6)=1/tC
1/(1/2-1/7-1/6)=tC
tC=5,25 hod
===
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
5)

25. Upravte výraz:

3y/(√x+y) + (√x+y)/(y-√x) - (y√x-5x)/(x-y²) =
(y-√x)3y/(y²-x) + (y+√x)*(√x+y)/(y²-x) + (y√x-5x)/(y²-x) =
( 3yy-3y√x + (y²+2y√x+x) + (y√x-5x) ) / (y²-x) =
4(yy-x) / (y²-x) =

=4
===
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
4)

45. Řešte rovnici v R:

x+|-2x-3|=3x+5
|-2x-3|=2x+5

x=-2
===

NB
(-2x-3)=0
x=-3/2

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
3)

31. Kdyby práci dělal 1.stroj 93 hodin a 2.stroj 9 hodin, splnily by celkem 169/180 úkolu.
Kdyby práci dělal 1.stroj 82 hodin a 2.stroj 6 hodin, splnily by celkem 209/270 úkolu.
Jak dlouho by úkol plnil 1.stroj sám, jak dlouho by úkol plnil 2.stroj sám?
(Odpověze číselně např. 5,10 v pořadí první, druhý stroj)

S1'=S/t1
S2'=S/t2

S*169/180 = S1'*t1(A) + S2'*t2(A)
S*209/270 = S1'*t1(B) + S2'*t2(B)

S*169/180 = S/t1*93 + S/t2*9
S*209/270 = S/t1*82 + S/t2*6

169/180 = 1/t1*93 + 1/t2*9
209/270 = 1/t1*82 + 1/t2*6

169/180/3 = 1/t1*31 + 1/t2*3
209/270/2 = 1/t1*41 + 1/t2*3

209/270/2 - 169/180/3 = 1/t1*(41-31)
209/270/20 - 169/180/30 = 1/t1
t1=135 hod

209/270 = 1/135*82 + 1/t2*6
209/270 - 82/135 = 6/t2
t2 = 6/(209/270 - 82/135)

(209/270 - 82/135)/6 = 1/t2
t2=36 hod

Odpověď 135,36
===

Zkouška:
169/180 = 93/135 + 9/36
209/270 = 82/135 + 6/36
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
2)

27. Zjednodušte výraz a zapište výsledek bez mezer (např. a+b)

(a-2)*(b²-1)=
(a*b²-2*b²-a+2)=

(ab+a-2b-2)=
( b(a-2) + (a-2) )=
(b+1)*(a-2)=

(ab-a-2b+2)=
( b(a-2) - (a-2) )=
(b-1)*(a-2)=

2b(a-1)/( (a-2)*(b²-1) ) - (a+b)/( (b+1)*(a-2) ) - (a-b)/( (b-1)*(a-2) ) =
2b(a-1)/( (a-2)*(b²-1) ) - (b-1)(a+b)/( (b²-1)*(a-2) ) - (b+1)(a-b)/( (b²-1)*(a-2) ) =

( 2b(a-1) - (b-1)(a+b) - (b+1)(a-b) ) / ( (b²-1)*(a-2) ) =
(2ba-2b-ab+a-bb+b -ab-a+bb+b) / ( (b²-1)*(a-2) ) =
= 0 / ( (b²-1)*(a-2) )

= 0
===
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
1)

5. Hodnota výrazu

V=5√18 - 4√3/(√3-1) - 2√3*(√3-√2)²

1)
V = 5√18 - 4√3/(√3-1) - 2√3(√3-√2)²

V = 5√18 - 4√3/(√3-1) * (√3+1)/(√3+1) - 2√3(3 - 2*√3*√2 + 2)
V = 5√18 - 4√3/(3-1) * (√3+1) - (6√3 - 12*√2 + 4√3)
V = 5√18 - (6 + 2√3) - (6√3 - 12*√2 + 4√3)
V = 5√18 - (6 + 12√3) + 4*3*√2
V = 5√18 - (6 + 12√3) + 4*√18
V = 9√(2*9) - (6 + 12√3)

V=27√2 - 12√3 - 6
===
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Cenobita.10.01.2023 14:28 (Upr. 10.01.2023 15:45) Nahlásit
9)

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
a) y=|x+3|+|2x-4|

...

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
b) y=-|x-2|+|2x+2|-x

NB1: 2x+2=0; x=-1
NB2: x-2=0; x=+2

I1=<-∞,-1>
I2=<-1,+2>
I3=<+2,+∞>

Bod1: x=-1
y=-|x-2|+|2x+2|-x
y=-3+0-(-1)=-2
Bod1: (-1,-2)

Bod1b: x=-2
y=-|x-2|+|2x+2|-x
y=-|-2-2|+|2(-2)+2|-(-2)
y=-4+2+2=0
Bod1b: (-2,0)

Bod2: x=+2
y=-|x-2|+|2x+2|-x
y=0+6-2=4
Bod2: (+2,+4)

Bod2b: x=+3
y=-|x-2|+|2x+2|-x
y=-|3-2|+|2*3+2|-3
y=-1+8-3=4
Bod2b: (+3,4)

1. rovnice
----------

Bod1: (-1,-2)
Bod1b: (-2,0)

k1=(y2-y1)/(x2-x1)
k1=(0-(-2))/((-2)-(-1))=2/-1=-2

y=kx+q
0=-2*(-2)+q
q=-4

y=-2x-4 (1. rovnice)
====================

1. zkouška: Bod1: (-1,-2)
y=-2x-4
-2=-2(-1)-4
L=P; OK

2. zkouška: x=-3
y=-|x-2|+|2x+2|-x
y=-|-3-2|+|2(-3)+2|-(-3)
y=-5+4+3=+2

y=-2x-4
+2=-2(-3)-4
L=P; OK

2. rovnice
----------

Bod1: (-1,-2)
Bod2: (+2,+4)

k2=(y2-y1)/(x2-x1)
k2=(+4-(-2))/(2-(-1))=6/3=2

y=kx+q
4=2*2+q
q=0

y=2x (2. rovnice)
=================

1. zkouška: Bod1: (-1,-2)
y=2x
-2=2*(-1);
L=P; OK

2. zkouška: Bod1: (+2,+4)
y=2x
+4=2*2;
L=P; OK

Bod0: (0,0)

y=2x
0=0
L=P; OK

3. rovnice
----------

Bod2: x=+2
y=-|x-2|+|2x+2|-x
y=0+6-2=4
Bod2: (+2,+4)

Bod2b: x=+3
y=-|x-2|+|2x+2|-x
y=-|3-2|+|2*3+2|-3
y=-1+8-3=+4
Bod2b: (+3,+4)

Bod2: (+2,+4)
Bod2b: (+3,+4)

k3=(y2-y1)/(x2-x1)
k3=(4-4)/(3-2)=0

y=0*x+q
4=0*2+q
q=+4

y=+4; (3. rovnice)
====

1. zkouška: Bod2: (+2,+4)

y=+4
+4=+4
L=P; OK

2. zkouška: x=+5
y=-|x-2|+|2x+2|-x
y=-|5-2|+|2*5+2|-5
y=-3+12-5=4; OK

3. zkouška: x=+10
y=-|x-2|+|2x+2|-x
y=-|10-2|+|2*10+2|-10
y=-8+22-10=+4; OK

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

c) y=2|-x+3|-|3x-3|+|x|

NB1: x=0; x=0
NB2: 3x-3=0; x=+1
NB3: -x+3=0; x=+3

I1=<-∞,0>
I2=<0,+1>
I3=<+1,+3>
I4=<+3,+∞>

1. rovnice
----------

Bod1: x=0
y=2|-x+3|-|3x-3|+|x|
y=2|0+3|-|3*0-3|+|0|
y=2*3-3+0=+3
Bod1: (0,+3)

Bod1b: x=-1
y=2|-x+3|-|3x-3|+|x|
y=2|-(-1)+3|-|3*(-1)-3|+|-1|
y=2*4-6+1=3
Bod1b: (0,+3)

k1=0
y=+3; 1. rovnice
================

2. rovnice
----------

Bod2: x=+1
y=2|-x+3|-|3x-3|+|x|
y=2|-1+3|-|3*1-3|+|1|
y=2*2-0+1=+5
Bod2: (+1,+5)

Bod1: (0,+3)
Bod2: (+1,+5)

k2=(y2-y1)/(x2-x1)
k2=(5-3)/(1-0)=+2

y=kx+q
3=2*0+q
q=3

y=2x+3; 2. rovnice
==================

1. Zkouška: Bod2: (+1,+5)
y=2x+3
+5=2*1+3
L=P; OK
-------

3. rovnice
----------

Bod2: (+1,+5)

Bod3: x=+3
y=2|-x+3|-|3x-3|+|x|
y=2|-3+3|-|3*3-3|+|3|
y=2*0-6+3=-3
Bod3: (+3,-3)

k3=(y3-y2)/(x3-x2)
k3=(-3-5)/(+3-1)=-8/2=-4

y=kx+q
+5=-4*1+q
q=+9

y=-4x+9; 3. rovnice
===================

1. zkouška: Bod2: (+1,+5)
y=-4x+9
+5=-4*1+9
L=P; OK

2. zkouška: Bod3: (+3,-3)
y=-4x+9
-3=-4*3+9
L=P; OK

4. rovnice
----------

Bod3: (+3,-3)

Bod4: x=+4
y=2|-x+3|-|3x-3|+|x|
y=2|-4+3|-|3*4-3|+|4|
y=2*1-9+4=-3
Bod4: (+4,-3)

k4=0
y=-3; 4. rovnice
================

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Cenobita.16.01.2023 14:58 Nahlásit
(2x+1)/(x+2) > 1
(2x+1)/(x+2) - 1 > 0
(2x+1)/(x+2) - (x+2)/(x+2) > 0
(x-1)/(x+2) > 0

NB: x+2 <> 0; x<>-2
NB: x-1 = 0; x=+1

I1=(-∞,-2)
I2=(-2,+1>
I3=(+1,+∞)

(x-1),(x+2)
I1: - , - ; (+)
I2: - , + ; - NE
I3: + , + ; (+)

x ∈ (-∞,-2) U (+1,+∞)
Cenobita.21.02.2023 22:17 (Upr. 21.02.2023 22:40) Nahlásit
https://www.vascak.cz/data/priklady/priklady2.php?skupina=1&priklady=305_2;305_3;305_4;305_5;305_7;305_14;305_25;305_40;305_105;305_107;305_110;305_111;

http://fyzika.jreichl.com/main.article/view/316-seriovy-rlc-obvod

http://fyzika.jreichl.com/main.article/view/318-paralelni-rlc-obvod

----------------------------------------------------------------------
1)

f=50 Hz
R=15 Ω
C=∞ F
L=63 mH=63e-3 H

XC=1/ωC
XL=ωL
ω=2πf

Z=√(R²+(XL-XC)²)
Z=√(R²+(ωL-1/ωC)²)
Z=√(R²+(2πf*L)²)
Z=(15@+(2*P*50*63e-3)@)i@=24,833940458155983981491364031171
Z=24,83 Ω
========
----------------------------------------------------------------------
2)

U=230V
f=50 Hz
I=2,5 A

Z=XC=1/ωC

U=I*R
U=I*Z
U/I=Z=1/ωC
C=I/(ωU)
C=I/(2πf*U)
C=2,5/(2*P*50*230)=3,459890067215115994975733986359e-5 F=34,59e-6 F = 34,59 µF
C=34,59 µF ≈ 34,6 µF
====================
----------------------------------------------------------------------
3)

U=200 V
f=50 Hz
R=150 Ω
C=16e-6 F
L=0 H
XL=0 Ω

Z=√(R²+(XL-XC)²)
Z=√(R²+(XC)²)
Z=√(R²+(1/ωC)²)
Z=√(R²+(1/(2πf*C))²)
Z=(150@+(1/(2*P*50*16e-6))@)i@=249,15574920175571170456927347657
Z=24,83Ω
========

U=I*R
U=I*Z
I=U/Z=200/24,83=8,0547724526782118405155054369714 A
I=8,054 A ≈ 8 A
===============
----------------------------------------------------------------------
a)

R1=20 Ω
R2=2 Ω

Z=R=R1+R2=20+2=22 Ω
===
----------------------------------------------------------------------
b)

f=200 Hz
R=50 Ω
C=∞ F
L=15 µH = 15e-6 H

XC=0 Ω

Z=√(R²+(XL-XC)²)
Z=√(R²+(ωL)²)
Z=√(R²+(2πf*L)²)
Z=(50@+(2*P*200*15e-6)@)i@=50,000003553057458149996093627304
Z=50 Ω
======
----------------------------------------------------------------------
c)

f=1 MHz = 1e6 Hz
R=0 Ω
C=68 pF = 68e-12 F
L=470 µH = 470e-6 H

Z=√(R²+(XL-XC)²)
Z=√((ωL-1/ωC)²)
Z=√((2πf*L-1/(2πf*C))²)
Z=2πf*L-1/(2πf*C)
Z=(2*P*1e6*470e-6) - 1/(2*P*1e6*68e-12)=612,58322537594482402424120127517
Z=612,58 Ω
========
----------------------------------------------------------------------
d)

f=5 kHz = 5e3 Hz
R=200 Ω
C=33 nF = 33e-9 F
L=0 H
XL=0 Ω

Z=√(R²+(XL-XC)²)
Z=√(R²+(1/ωC)²)
Z=√(R²+(1/(2πf*C))²)
Z=(200@+(1/(2*P*5e3*33e-9))@)i@=985,09173519181969861157563310674
Z=985,09 Ω
==========
----------------------------------------------------------------------
e)

R1=20 Ω
R2=60 Ω

Z=R
1/R=1/20+1/60=
Z=R=15 Ω
========
----------------------------------------------------------------------
f)

f=200 Hz
R=100 Ω
C=18 µF = 18e-6 F
L=∞ H
XL=∞ Ω

Z=1/√(1/R²+(1/XL-1/XC)²)
Z=1/√(1/R²+(1/ωL-ωC)²)
Z=1/√(1/R²+(1/(2πf*L)-2πf*C)²)
Z=1/√(1/R²+(1/(2*P*f*L)-2*P*f*C)²)
Z=1/(1/100@+(2*P*200*18e-6)@)i@=40,434488764817070706803075706572
Z=40,43 Ω
=========
----------------------------------------------------------------------
g)

f=1 MHz = 1e6 Hz
R=∞ Ω
C=150 pF = 150e-12 F
L=330 µH = 330e-6 H

Z=1/√(1/R²+(1/XL-1/XC)²)
Z=1/√(1/R²+(1/ωL-ωC)²)
Z=1/√(1/R²+(1/(2πf*L)-2πf*C)²)
Z=1/√(1/R²+(1/(2*P*f*L)-2*P*f*C)²)
Z=1/((1/(2*P*1e6*330e-6)-2*P*1e6*150e-12)@)i@=2173,0150698587002828337272169945
Z=2173,01 Ω
===========
----------------------------------------------------------------------
h)

f=5 kHz = 5e3 Hz
R=27 Ω
C=0 F
L=3,2 mH = 3,2e-3 H

XC=∞ Ω

Z=1/√(1/R²+(1/XL-1/XC)²)
Z=1/√(1/R²+(1/ωL-ωC)²)
Z=1/√(1/R²+(1/(2πf*L)-2πf*C)²)
Z=1/√(1/R²+(1/(2*P*f*L)-2*P*f*C)²)
Z=1/(1/27@+(1/(2*P*5e3*3,2e-3))@)i@=26,075919990775204211382008565439
Z=26,07 Ω
=========
----------------------------------------------------------------------
Cenobita.04.03.2023 12:46 (Upr. 07.03.2023 14:48) Nahlásit
http://leteckaposta.cz/952299389

Přímka: y=kx+q nebo y=ax+b

https://www.priklady.eu/cs/matematika/linearni-utvary-v-rovine/primka.alej

Je dána funkce y = x+1. Určete o jakou jde křivku/funkci. Vyjádřete tuto funkci pomocí tabulky, pro hodnoty x zadejte x-ovou souřadnici vrcholu a dále tři celá čísla nalevo od souřadnice x=0 a tři napravo. Hodnoty z tabulky znázorněte také v grafu. Určete body, ve kterých křivka/funkce protíná osu x a osu y (průsečíky). Vypočítejte délku úsečky danou průsečíky s osami x a y.

Parabola:

https://www.matweb.cz/parabola/

https://www2.karlin.mff.cuni.cz/~portal/funkce/?page=vrkf

https://studyhub.cz/blog/parabola/
Cenobita.26.07.2023 16:02 (Upr. 26.07.2023 16:04) Nahlásit
http://www2.ef.jcu.cz/~janaklic/statistika/pravdepodobnost.pdf

0.2.6 Pravděpodobnostní stromy

Řešený příklad 1

K šesti nabitým bateriím se dostaly tři vybité. Jaká je pravděpodobnost,
že při výběru dvou baterií vybereme
• obě vybité,
• obě nabité,
• jednu vybitou a jednu nabitou?

p1=3/9*2/8=1/3*1/4=1/12
p2=6/9*5/8=1/3*5/8=5/24
P3=3/9*6/8 + 6/9*3/8 = 1/4 + 1/4 = 1/2
Přidat komentář do diskuze ▾