Asymptoty funkcie
Prosim Vas pomohli by ste mi s prikladom: najdite asymptotu pre x sa blizi do nekonecno funkcie y=(x^3+1)/(x^2+x-6). Vopred dakujem za pomoc :)
Odpovědi
Diskuze
y=1/(x^2+x-6) + x^3/(x^2+x-6)
1. derivace je směrnice
k=y'= (x^4+2x^3-18x^2-2x-1) / (x^2+x-6)^2
asymtota se dotkne funkce až v nekonečnu, to vyhledám pomocí limity x->∞
k=y'(∞)=lim x->∞ y'(x); {používám několikrát po sobě L'Hospital}
k=y'(∞)=lim x->∞ (x^4+2x^3-18x^2-2x-1) / (x^2+x-6)^2 = ∞/∞
k=y'(∞)=lim x->∞ (4x^3+6x^2-36x-2) / 2*(2x+1)(x^2+x-6) = ∞/∞
k=y'(∞)=lim x->∞ 12*(x^2+x-3) / 12*(x^2+x-3) = ∞/∞
k=y'(∞)=lim x->∞ (x^2+x-3) / (x^2+x-3) = 1
k=1 {směrnice asymtoty}
potřebuji zjistit rovnici přímky, která určuje asymtotu:
y=kx+q
y=x+q
y=(x^3+1)/(x^2+x-6)
asymtota je definována jako bod dotyku s přímkou asymtoty v nekonečnu:
lim x->∞ f(x)-kx=q
(x^3+1)/(x^2+x-6) - kx = q
k=1
(x^3+1)/(x^2+x-6) - x = q
q=lim x->∞ (x^3+1)/(x^2+x-6) - x; {používám několikrát po sobě L'Hospital}
q=lim x->∞ (x^3+1) - (x^2+x-6)*x /(x^2+x-6) = ∞/∞
q=lim x->∞ (1 - x^2 + 6x) /(x^2+x-6) = ∞/∞
q=lim x->∞ (- 2x + 6) /(2x+1) = ∞/∞
q=lim x->∞ (- 2) /(2) = -1
asymtota:
y=x-1
=====
kontrola:
http://www.wolframalpha.com/input/?i=y%3D%28x%5E3%2B1%29%2F%28x%5E2%2Bx-6%29%3By%3Dx-1