Rovnica kružnice
13. Nájdite dotyčnicu kružnice k: (x+1)*(x+1)+y*y=13
a) v jej bode T[2; t2 < 0]
b) rovnobežnú s priamkou p: 2x+3y-5=0 c) kolmú na priamku p:3x+2y+2=0
a) v jej bode T[2; t2 < 0]
b) rovnobežnú s priamkou p: 2x+3y-5=0 c) kolmú na priamku p:3x+2y+2=0
Odpovědi
Diskuze
(x+1)*(x+1)+y*y=13 {1. rovnice}
R*R=13 {poloměr kružnice}
T[2; t2 < 0]
(x+1)*(x+1)+y*y=13
S[-1,0] {střed kružnice}
X[x,y] {pomocný bod libovolně ležící na tečně}
n=X[x,y]-S[-1,0]=[x+1,y] {normála k tečně je vlastně poloměrem kružnice spojnice bodu X nebo T}
t=X[x,y]-T[2; t2 < 0]=[x-2,y-t2] {tečna spojnice bodu dotyku T a pomocného bodu X}
musí platit pro skalární součin pro 90° t je kolmé na n:
t*n=|t|*|n|*cos(90°)=0
t*n=0
[x-2,y-t2]*[x+1,y]=0
(x-2)*(x+1)+(y-t2)*(y)=0
(x*x-2x)+(x-2)+(y*y-t2*y)=0
(x*x-x)+(-2)+(y*y-t2*y)=0 {2. rovnice}
---
(x+1)*(x+1)+y*y=13 {1. rovnice}
(x*x-x)+(-2)+(y*y-t2*y)=0 {2. rovnice}
---
(x*x+2x+1+y*y=13 {1. rovnice}
(x*x-x)+(-2)+(y*y-t2*y)=0 {2. rovnice}
---
---
(x*x+y*y=13 -(2x+1)
(x*x-x)+(-2)+(y*y-t2*y)=0 {2. rovnice}
---
(-x)+(-2)+(-t2*y) + 13 -(2x+1)=0
(-3x)+(-t2*y) + 10=0
y=(-3x+10)/t2
---
y=(-3x+10)/t2 (obecná rovnice tečny pro parametr t2)
kontrola:
T[2;t2]
y=(-3x+10)/t2 (rovnice tečny)
t2=(-3*2+10)/t2 (rovnice tečny)
t2=-2 (toto vyhovuje zadání)
t2=+2 (toto je navíc)
y=(-3x+10)/2 (1. rovnice tečny pro parametr t2=+2) (toto je navíc pro t>0)
==================================================
y=(+3x-10)/2 (2. rovnice tečny pro parametr t2=-2) (toto je řešení zadání)
==================================================
kružnice
k: (x+1)*(x+1)+y*y=13
R*R=13 {poloměr kružnice}
rovnoběžnou s přímkou:
p: 2x+3y-5=0
tečna musí mít stejnou směrnici jako přímka, zjistíme směrnici přímky p:
y=-2/3x+5/3
k=-2/3 {směrnice přímky p}
t=[1,-2/3] (tečný vektor, je to vlastně: tan(alfa)=k )
==========
---
zvolíme obecně normálový vektor:
T[x,y] - zatím neznámý bod dotyku
S[x0,y0] - střed kružnice
S[-1,0] - střed kružnice
n=T-S=T[x,y]-S[-1,0]=[x+1,y]
n=[x+1,y] {normálový vektor}
=========
---
musíme najít bod T dotyku tečny ke kružnici, zde se uplatní skalární součin vektorů n (normálový) a t (tečný)
musí platit pro skalární součin pro 90° t je kolmé na n:
t*n=|t|*|n|*cos(90°)=0
t*n=0
t*n=[1,-2/3]*[x+1,y]=x+1 + (-2/3)*y = 0
x+1 + (-2/3)*y = 0 (rovnice popisující tečnu)
y = 3/2*x + 3/2 (rovnice popisující přímku, která protíná kružnici v tečných bodech T ~ T1 a T2 - jsou dva), (přímka je totožná s normálou)
==========================================
tu dosadíme do rovnice kružnice a zjistíme body dotyku:
(x+1)*(x+1)+y*y=13
y = 3/2*x + 3/2
---
4/9*(x+1)*(x+1)+(x+1)*(x+1)=13*4/9
4/9*(x*x+2x+1)+(x*x+2x+1)=13*4/9
(x*x+2x+1)*(4/9 + 1)=13*4/9
(x*x+2x+1)*(13/9)=13*4/9
x*x+2x+1=4 (kvadratická rovnice)
x*x+2x-3=0 (kvadratická rovnice)
x-sové souřadnice bodů dotyků
x1=(-2+sqr(4 - 4*-3))/2 = 1
x2=(-2-sqr(4 - 4*-3))/2 = -3
dosadím do normálové přímky:
y = 3/2*x + 3/2
y1 = 3/2*1 + 3/2 = 3
y2 = 3/2*x + 3/2 = -3
a rovnice tečny je:
(y-y0) = k*(x-x0)
(y-3) = -2/3*(x-1) (1. tečna)
(y+3) = -2/3*(x+3) (2. tečna)
Kontrola:
zjistím směrnici tečen zda je stejná jako má přímka v zadání:
y=-2/3*(x-1) + 3 (1. tečna)
y=-2/3*(x+3) - 3 (2. tečna)
y=-2/3*x+11/3 (1. tečna)
========================
y=-2/3*x-5 (2. tečna)
=======================
Kontrola:
T1[1,3]
y=-2/3*x+11/3 (1. tečna)
3=-2/3*1+11/3 (1. tečna)
3=3 OK
========================
T2[-3,-3]
y=-2/3*x-5 (2. tečna)
-3=-2/3*-3-5 (2. tečna)
-3=-3 OK
=======================
=> kontrola sedí, jsou to tedy tečny v bodech dotyku, které jsou na kružnici
Kontrola1:
k: (x+1)*(x+1)+y*y=13
k: (1+1)*(1+1)+3*3=13
k: 4+9=13 OK
Kontrola2:
k: (-3+1)*(-3+1)+-3*-3=13
k: 4+9=13 OK
(x+1)*(x+1)+y*y=13 {1. rovnice}
3x+2y+2=0 {přímka}
y=-3/2*x-1
k=-3/2
q=-1
vektor přímky p: t[1,3/2]
S[x0,y0] - střed kružnice
S[-1,0] - střed kružnice
T[x,y]
n=T-S=T[x,y]-S[-1,0]=[x+1,y]
musí platit pro skalární součin pro 90° t je kolmé na n:
t*n=|t|*|n|*cos(90°)=0
t*n=0
t*n=[1,3/2]*[x+1,y]=x+1 + (3/2)*y = 0
x+1 + (3/2)*y = 0
y=-2/3*x - 2/3 (rovnice popisující normálu)
y=-2/3*x - 2/3 (rovnice popisující přímku, která protíná kružnici v tečných bodech T ~ T1 a T2 - jsou dva), (přímka je totožná s normálou)
==========================================
tu dosadíme do rovnice kružnice a zjistíme body dotyku:
(x+1)*(x+1)+y*y=13
y=-2/3*x - 2/3
---
(x+1)*(x+1)+(-2/3*x - 2/3)*(-2/3*x - 2/3)=13
(x+1)*(x+1)+(2/3)*(2/3)*(x+1)*(x+1)=13
(x*x+2x+1)+(4/9)*(x*x+2x+1)=13
(x*x+2x+1)*(13/9)=13
(x*x+2x+1)=9
(x*x+2x-8)=0
x1=(-2+sqr(4-4*-8))/2 = 2
x2=(-2-sqr(4-4*-8))/2 = -4
y1=-2/3*2 - 2/3 = -2
y2=-2/3*-4 - 2/3 = 2
T1[2,-2]
T2[-4,2]
Kontrola:
n1=T1[2,-2]-S[-1,0]=[3,-2]
n2=S[-1,0]-T2[-4,2]=[3,-2]
n1=n1 vektory normál jsou stejné, což je správně
rovnice přímky v bodě T1:
k=-3/2
T1[2,-2]
y=kx+q
-2=-3/2*2+q
1=q
y=-3/2*x+1 (1. rovnice přímky)
==========
rovnice přímky v bodě T2:
k=-3/2
T2[-4,2]
y=kx+q
2=-3/2*-4+q
-4=q
y=-3/2*x-4 (2. rovnice přímky)
==========
Kontrola (jsou body T1 a T2 na kružnici ?):
T1[2,-2]
(x+1)*(x+1)+y*y=13 {1. rovnice}
(2+1)*(2+1)+-2*-2=13 {1. rovnice}
9+4=13 OK
T2[-4,2]
(x+1)*(x+1)+y*y=13 {2. rovnice}
(-4+1)*(-4+1)+2*2=13 {2. rovnice}
9+4=13 OK
ano oba body jsou na kružnici, směrnice obou přímek jsou stejné k=-3/2 a jsou stejné s přímkou p:, takže je zadání splněno.