Monotonost funkce
Když mám funkci třeba y=lnx /sqrtx a mám určit intervaly monotonosti.
takže udělám podmínky x>=0
zderivuju a tu pak položím rovno nule
čitatel 2 - lnx musí být roven nule tzn x= e^2
takže funkce je rostoucí (0,e^2) a klesající (e^2, + nekonečno)
Snad mám postup správně, což podle výsledků ano.
Ale moje otázka je, zda u toho e^2 má být otevřený interval nebo uzavřený.
V učebnici je uzavřený, ale nechápu proč. V tom bodě je derivace nulová ne? Tam funkce neklesá ani neroste.
takže udělám podmínky x>=0
zderivuju a tu pak položím rovno nule
čitatel 2 - lnx musí být roven nule tzn x= e^2
takže funkce je rostoucí (0,e^2) a klesající (e^2, + nekonečno)
Snad mám postup správně, což podle výsledků ano.
Ale moje otázka je, zda u toho e^2 má být otevřený interval nebo uzavřený.
V učebnici je uzavřený, ale nechápu proč. V tom bodě je derivace nulová ne? Tam funkce neklesá ani neroste.
Odpovědi
Diskuze
Taková ta "obyčejná" monotónnost znamená, že derivace je buď >= 0 (tj. funkce je neklesající – roste nebo nebo je konstantní) nebo je <= 0 (funkce je nerostoucí – klesá nebo nebo je konstantní).
Funkce může být ale i ryze monotónní. Pak derivace je buď > 0 (tj. funkce je rostoucí – jen roste, nemůže být konstantní) nebo je < 0 (funkce je klesající – jen klesá). Rovnost nule je zde nepřípustná na intervalu nenulové velikosti, ale přípustná v jednotlivém bodu - buď krajní bod intervalu (lokální extrém), nebo jednotlivý bod uvnitř intervalu (inflexní bod).
Takový bod pak můžeš bez problémů do intervalu zahrnout, protože ani ta ryzí monotónnost tím není narušena: tj. třeba u rostoucí funkce stále platí pro každé x2>x1 => f(x2) > f(x1) (např. y = x², pro x∈<0,∞>)
Takže ten krajní bod není potřeba vylučovat, protože i v něm je podmínka monotonie splněna, ačkoliv derivace je tam nulová.
Monotonie v bodě je definovaná přes existenci monotónního okolí (http://cs.wikipedia.org/wiki/Monotónní_funkce) a to je zde splněno.
Proto můžeš u spojité (!) funkce intervaly monotonie v rámci definičního oboru uzavřít.