exponenciální rovnice
Jak tohle vyřešít ?
Odpovědi
Diskuze
mějme exponenciální rovnici 5^x * 4^(1-x) - 4^x * 5^(1-x) = 1. Budeme ji řešit na celém oboru R, neboť zde není potřeba pomocí podmínek řešitelnosti žádnou hodnotu z R vyloučit.
Nejprve využijeme té vlastnosti, že a^(b-c) = a^b / a^c pro nějaké kladné a a pro reálná b, c.
5^x * 4 / 4^x - 4^x * 5 / 5^x = 1
Dále využijeme toho, že b^a / c^a = (b/c)^a pro reálná a, b, c, kde c je nenulové.
(5/4)^x * 4 - (4/5)^x * 5 = 1
Nyní si uvědomme, že (5/4) = (4/5)^(-1).
(5/4)^x * 4 - (5/4)^(-x) * 5 = 1
V tuto chvíli zaveďme substituci a = (5/4)^x a proveďme její projekci do naší rovnice.
a * 4 - (1/a) * 5 = 1
Jelikož (5/4)^x je exponenciální výraz, který nemůže být pro žádné reálné x ani nulový, ani záporný, řešíme tuto rovnici pouze pro kladná a. Můžeme tedy beztrestně upravovat:
4 * a^2 - 5 = a
4 * a^2 - a - 5 = 0
Získali jsme kvadratickou rovnici s podmínkami řešitelnosti a > 0. Tu jednoduše vyřešíme:
(a - 5/4)(a + 1) = 0
Jelikož jsme zavedli podmínky řešitelnosti a > 0, je jediným řešením a = 5/4.
Nyní zrušíme substituci, tedy:
a = (5/4)^x
(5/4) = (5/4)^x
Obě strany rovnice zlogaritmujeme logaritmem o základu (5/4), což můžeme provést, protože logaritus je prostá funkce a 5/4 je validní základ logaritmu (základ uvedeme v hranatých závorkách).
log[5/4](5/4) = log[5/4](5/4)^x
log[5/4](5/4) = x * log[5/4](5/4)
x = 1
Řešení x = 1 je v souladu s podmínkami řešitelnosti, je to tedy jediné řešení této rovnice.
... 5/4 je validní základ logaritmu ...
Musel jsem se těmto vyjádřením zasmát, protože takhle může mluvit jen někdo, kdo čte matematické knížky :-)
tak to mě těší, že Vás řešení tak rozveselilo. :) Co se týče té projekce, když o tom tak přemýšlím, asi to nebude úplně korektní pojem, to jsem tam napsal jen proto, že mě narychlo nenapadlo, jak to vyjádřit lépe. A co se týče matematických knížek - ano, občas si v nějaké skutečně počtu a můžu jen potvrdit, že pak skutečně dochází k 'projekci' určité terminologie i do mluvené či psané řeči. :)
zaveďme substituci a proveďme její DOSAZENÍ do naší rovnice
Jinak: projekce = promítnutí, průmět
Já mám matematiku rád, ale ty matematické opičárny kolem (podmínky řešitelnosti, nejlepší postupy apod.) mě moc nezajímají. To nechávám matematikům. Smířil jsem se s tím už před lety, kdy i po absolvování před povinných a dobrovolných matematik na VŠ na nás vychrlili věci, které jsem nikdy neslyšel (matematika polynomů nad konečnými poli, vztahy a vlastnosti diskrétních funkcí, provázanosti mezi funkcemi a obrazy jejich integrálních transformací apod.) a řekli nám: "Výsledky a předpočítaná řešení najdete v tabulkách". Došlo mi, že matematici nad tím strávili roky života a nemá smysl snažit se ty postupy pochopit, když nové postupy hledat nebudu a i kdybych, tak profesionální matematik si mě dá jako zákusek k snídani, protože on strávil roky čtením o matematice, kdežto já je strávil čtením o jiném oboru.
(5/4)^1 = (5/4)^x
1 = x