Jak vyjádřit neznámou C ze vzorce?
Vztah:
x = e^nF/RT*(E-C)/e^nF/RT*(E-C) +1 (jednička už nepatří k e^...)
Jak prosím vyjádřit C?
x = e^nF/RT*(E-C)/e^nF/RT*(E-C) +1 (jednička už nepatří k e^...)
Jak prosím vyjádřit C?
Odpovědi
Diskuze
je mi líto, ale z toho neformátovaného zápisu není úplně jasné, jak vzorec ve skutečnosti vypadá. Než začneme odvozovat, potvrďte mi prosím, zda vzorec odpovídá tomu, který uvádím na obrázku níže.
Zatím přeji pěkné odpoledne.
pro jistotu ještě jednou, je to tedy takto?
nyní vám tedy předvědu vyjádření C. Jelikož Ontola mi neumožňuje LaTeXovský zápis vzorců, napsal jsem to v LaTeXu a jednotlivé kroky jsou znázorněny na obrázcích níže.
Věnujte prosím pozornost popisu jednotlivých kroků, které budou následovat, protože v každém vysvětluji, proč můžeme takovou úpravu provést, případně jaká existují omezení. Možná to bude trochu nepřehledné, ale snad se s tím poperete.
1 obrázek:
Nejprve se musíme zamyslet, jakých hodnot mohou jednotlivé proměnné nabývat (určit omezení řešitelnosti).
Vidíme ve jmenovateli exponentu proměnné R a T, tedy R a T musí být různé od nuly. Dále vidíme, že ve jmenovateli se nachází součet e^((nF)/(RT)*(E-C)) + 1, tedy musí platit, že e^((nF)/(RT)*(E-C)) =/= -1 (nerovná se -1). My ale víme, že exponenciální funkce s kladným základem se vždy zobrazuje jen na kladná reálná čísla, tedy tato podmínka nikdy nemůže být porušena.
Současně si všimněme, že x nabude vždy hodnoty z intervalu (0, 1), jelikož hodnota jmenovatele toho zlomku bude vždy vyšší než hodnota čitatele. To využijeme později, ještě to připomenu.
Podmínky jsou tedy takové: R =/= 0, T =/= 0.
2. obrázek:
Provedeme vynásobení celé rovnice výrazem e^((nF)/(RT)*(E-C)) + 1, což udělat můžeme, neboť jsme stanovili podmínky řešitelnosti, tedy tím nevneseme do množiny řešení žádnou neplatnou sedmici (x, n, F, R, T, E, C).
Následně převedeme na druhou stranu výraz e^((nF)/(RT)*(E-C))*x a provedeme vytknutí výrazu e^((nF)/(RT)*(E-C)).
3. obrázek:
Nyní vydělíme celou rovnici výrazem (1-x). Toto si můžeme dovolit, neboť už víme z prvního kroku, že x bude vždy z intervalu (0, 1), tedy nikdy nebude rovno 1.
4. obrázek:
Nyní zalogaritmujeme obě strany rovnice přirozeným logaritmem. Opět si to můžeme dovolit, neboť známe omezení pro x, tedy x je vždy z intervalu (0, 1), na němž je přirozený logaritmus definovaný. Na druhé straně rovnice je exponenciální funkce, která se zobrazuje pouze do kladných čísel, můžeme ji tedy bez ztráty možných řešení zalogaritmovat.
5. obrázek:
Funkce ln(x) a e^x jsou navzájem inverzní, můžeme tedy využít vzorce pro identitu f(f^-1(x)) = x.
6. obrázek:
Nyní provedeme závěrečné úpravy. Musíme mít na paměti, že R a T jsou různé od nuly a nově musíme zavést podmínku, že n a F jsou různé od nuly.
Poslední úkol je už pro vás. Jelikož jsme podmínky pro n a F museli zavést uměle během výpočtu, nezapomeňte od začátku provést celé odvození pro případ, že n a F se nule rovnají, tedy dosaďte 0 za n nebo F a uvažte, čemu by se v takovém případě mohlo rovnat C.
Je to všechno jasné?