Reseni diferencialni rovnice RL obvodu

Mrtvedetivzivemplote21.06.2018 09:48 Nahlásit
Ahoj,

muze mi nekdo pomoc s postupem reseni diferencialni rovnice: dI/(I-(U/R)) = - dt/L/R s pocatecni podminkou I(t=0)=0?

Vysledek by mel byt ve tvaru I(t) = U/R (1-e^(-t/(R/L))

Diky moc!

Odpovědi

Přidat odpověď ▾

Diskuze

Cenobita.21.06.2018 10:54 (Upr. 21.06.2018 11:00) Nahlásit
Máš špatně zadání i výsledek, nesedí rozměrová analýza.

diferenciální rovnice:

dI/(I-(U/R)) = - dt/(L/R)

přímá integrace levé a pravé strany:

∫ dI/(I-(U/R)) = ∫ - dt/(L/R)
ln| (I-(U/R)) | = - t / (L/R) + C

pro t=0 je I=0

ln| (0-(U/R)) | = - 0 / (L/R) + C
ln| (-(U/R)) | = C

dosadíme konstantu C

ln| (I-(U/R)) | = - t / (L/R) + ln| (-(U/R)) |

úprava

ln| (I-(U/R)) | - ln| (-(U/R)) | = - t /(L/R)
ln| (I-(U/R)) / (-(U/R)) | = - t /(L/R)
(I-(U/R)) = (-(U/R)) * e^(- t /(L/R))
I = (U/R) + (-(U/R)) * e^(- t /(L/R))

I(t) = (U/R)*(1 - e^(- t /(L/R)) )
==================================
Anonym Fuvupoz21.06.2018 12:27 Nahlásit
Mě spíš překvapuje ten počáteční tvar. Většina lidí by si ho asi zapsala spíš ve tvaru podobném:
U=Ri+Ldi/dt
Možná bych si ho vydělení R pak převedl na tvar:

Imax=i+λdi/dt

kde Imax=U/R je asymptoticky ustálený proud (konstanta) a λ=R/L je tzv. časová konstanta LR obvodu. Časovou konstantou rozumíme čas, za kdy proud dosáhne (1-1/e) tj. asi 63% ustálené hodnoty
Anonym Jifilec21.06.2018 16:59 Nahlásit
Řekl bych, že toto je typický příklad, že někteří rovnici vyřeší, i když pro ně třeba spadla z nebe a netuší jak rozumět a interpretovat zadání a jak výsledek.
Přitom je to nádherný příklad, k čemu diferenciální rovnice slouží, daly by se hledat i jiné, třeba mechanické analogie apod. Nabízí se otázka, jestli je lepší to umět správně vypočítat a nevědět, co doopravdy dělám, nebo rozumět zadání i výsledku, i když třeba to vlastní řešení DR dohromady nedám.
Anonym Jifilec21.06.2018 17:22 Nahlásit
Pokud to náhodou někdo neumí přečíst, tak to zadání U=Ri+L*di/dt znamená, že konstantní napětí U ze zdroje se rozdělí jako součet napětí na odporu (R*i) a napětí na indukčnosti (L*di/dt). V okamžiku připojení poteče nulový proud (i) a napětí na odporu bude 0. Jak bude narůstat v čase i, bude stále větší napětí na odporu, až nakonec, v čase jdoucím k nekonečnu, bude na odporu celé napětí a na indukčnosti nic.

Řešením DR získáme funkci, závislost proudu na čase, který dané rovnici odpovídá. Má tvar:

i=Imax(1-e^(-t/λ))

To tedy znamená, že po připojení k napětí bude proud exponenciálně narůstat od 0 po nějakou konkrétní hodnotu Imax, danou ohmovým zákonem U/R, tedy, že nakonec se už indukčnost přestane uplatňovat. Doba, po kterou indukčnost významně brání nárůstu proudu je řádově λ=R/L. Znamená to, že pokud řekneme, že je třeba po 5λ už proud prakticky ustálený (teoreticky narůstá stále) a máme v obvodu odpor 1Ω a indukčnost 1mH, je λ=1ms a proud se tedy ustálí asi za 5ms.
Anonym Jifilec21.06.2018 17:36 Nahlásit
Omlouvám se za chybu, copy-paste je nebezpečná věc. Zpravidla se časová konstanta označuje τ=L/R a zlomek je naopak.
Přidat komentář do diskuze ▾