logaritmické funkce - příklad
Dobrý den,
nevím si rady s touto soustavou logaritmických rovnic:
log10^x + log10^y = 3
log10^x * log10^y = 2
Děkuji moc za odpověď
nevím si rady s touto soustavou logaritmických rovnic:
log10^x + log10^y = 3
log10^x * log10^y = 2
Děkuji moc za odpověď
Odpovědi
Diskuze
log10^x * log10^y = 2
---
log10^x + log10^y = log(10^3)
log10^x * log10^y = log(10^2)
jo už to vidím, ale pozdě.
Moc bych tento příklad potřebovala vyřešit
Rozumnější zápis by mohl vypadat (když tenhle příšerný server neumí dolní indexy):
log(10)x + log(10)y = 3 [1]
log(10)x * log(10)y = 2 [2]
nebo ještě lépe
log(x) + log(y) = 3
log(x) * log(y) = 2 (vše při základu 10)
Podmínky řešení: x>0 a y>0
Řešení:
Z rovnice [1] vyjádřit log(x) a dosadit do rovnice [2]. Vznikne kvadratická rovnice pro neznámou log(y). Pro lepší přehlednost možno použít substituci log(y) = t, ale není to nutné (bude t²-3t+2=0, což má zjevně kořeny t=1 a t=2).
Takže dvě řešení: y1=10, y2=100 a dosazením do [1] pak vychází x1=100, x2=10.
Podmínky jsou splněny, řešení platí.
Děkuji za odpověď
(3-log(10)y) * log(10)y=2 (nahrazené x musí být v závorce)
neboli
(3 - log(y)) * log(y) = 2
Tu závorku pak musíš roznásobit
3 * log(y) - log(y)*log(y) = 2
A to je ta qadratická rovnice
log(x) = a
log(y) = b
x>0 a y>0
a + b = 3
ab = 2 => b = 2/a; a≠0
-------------------------
a + 2/a = 3
a^2 -3a + 2 = 0
(a-2)(a-1) = 0
a_1 = 2 => log(x) = 2 => x_1 = 100
a_2 = 1 => log (x) = 1 => x_2 = 10
b_1 = 1 => log (y) = 1 => y_1 = 10
b_2 = 2 => log (y) = 2 => y_2 = 100
log(10^x) + log(10^y) = 3
log(10^x) * log(10^y) = 2