Slovní úloha posloupnost
Horkovzdušný balon vystoupá 35 metrů vysoko za 5 minut po startu. Každou další minutu vystoupá 80% výšky, kterou vystoupal za předchozí minutu. Určete:
a) kolik metrů vystoupá za šestou minutu po startu
b) jaká bude jeho celková výška deset minut po startu
c) jak slouho potrvá balonu, než bude více než 110 metrů vysoko
d) jaká bude konečná výška balonu
Odpovědi se mají zaokrouhlovat na celá čísla
Díky moc
a) kolik metrů vystoupá za šestou minutu po startu
b) jaká bude jeho celková výška deset minut po startu
c) jak slouho potrvá balonu, než bude více než 110 metrů vysoko
d) jaká bude konečná výška balonu
Odpovědi se mají zaokrouhlovat na celá čísla
Díky moc
Odpovědi
Diskuze
vyjádříme si výšku v jednotlivých minutách po startu a tím odvodíme závislost:
h(1)=1*Δh
h(2)=Δh + (80% z Δh) = 1*Δh + 0,8*Δh
h(3)=h(2) + (80% z (80% z Δh))=1*Δh + 0,8*Δh + 0,8*0,8*Δh
h(4)=h(3) + (80% z (80% z (80% z Δh)))=1*Δh + 0,8*Δh + 0,8*0,8*Δh + 0,8*0,8*0,8*Δh
h(5)=1*Δh + 0,8*Δh + 0,8*0,8*Δh + 0,8*0,8*0,8*Δh + 0,8*0,8*0,8*0,8*Δh
h(t)=Δh*[ 1 + 0,8 + 0,8*0,8 + 0,8*0,8*0,8 + ... + (0,8)^(t-1) ]
h(5)=Δh*[1 + 0,8 + 0,8*0,8 + 0,8*0,8*0,8 + 0,8*0,8*0,8*0,8]
h(5)=35 m
h(5)=Δh*[1 + 0,8 + 0,8*0,8 + 0,8*0,8*0,8 + 0,8*0,8*0,8*0,8]
Δh=h(5)/[1 + 0,8 + 0,8*0,8 + 0,8*0,8*0,8 + 0,8*0,8*0,8*0,8]
Δh=35/[1 + 0,8 + 0,8*0,8 + 0,8*0,8*0,8 + 0,8*0,8*0,8*0,8]
Δh=35/(1 + 0,8 + (0,8*0,8) + (0,8*0,8*0,8) + (0,8*0,8*0,8*0,8))=
Δh=10,411708710138029509757258448358 m (výška za 1 minutu letu/po první minutě letu)
===
h(6)=35/[1 + 0,8 + 0,8*0,8 + 0,8*0,8*0,8 + 0,8*0,8*0,8*0,8] * [1 + 0,8 + 0,8*0,8 + 0,8*0,8*0,8 + 0,8*0,8*0,8*0,8 + 0,8*0,8*0,8*0,8*0,8]
h(6)=35/(1 + 0,8 + (0,8*0,8) + (0,8*0,8*0,8) + (0,8*0,8*0,8*0,8)) *(1 + 0,8 + (0,8*0,8) + (0,8*0,8*0,8) + (0,8*0,8*0,8*0,8) + (0,8*0,8*0,8*0,8*0,8))=
h(6)=38,411708710138029509757258448358 m
===
b) jaká bude jeho celková výška deset minut po startu
h(10)=35/(1 + 0,8 + (0,8*0,8) + (0,8*0,8*0,8) + (0,8*0,8*0,8*0,8)) * (1 + 0,8 + (0,8*0,8) + (0,8*0,8*0,8) + (0,8*0,8*0,8*0,8) + (0,8*0,8*0,8*0,8*0,8) + (0,8*0,8*0,8*0,8*0,8*0,8) + (0,8*0,8*0,8*0,8*0,8*0,8*0,8) + (0,8*0,8*0,8*0,8*0,8*0,8*0,8*0,8) + (0,8*0,8*0,8*0,8*0,8*0,8*0,8*0,8*0,8))=
h(10)=46,4688 m
===
pomocí geometrické posloupnosti se to počítá takto:
h(10)=35/(1+0,8*(0,8*0,8*0,8*0,8-1)/(0,8-1)) * (1 + 0,8*(0,8^9-1)/(0,8-1))=46,4688 m
===
z výše uvedného je patrné, že jde o geometrickou posloupnost a ta se dá sečíst takto:
http://cs.wikipedia.org/wiki/Geometrick%C3%A1_posloupnost
S(n)=a1*(q^n-1)/(q-1)
Δh=35/(1 + 0,8 + (0,8*0,8) + (0,8*0,8*0,8) + (0,8*0,8*0,8*0,8))=
Δh=35/(1 + a1*(q^n-1)/(q-1))=
a1=0,8
q=0,8
Δh=35/(1 + 0,8*(0,8^4-1)/(0,8-1))=35/(1+0,8*(0,8*0,8*0,8*0,8-1)/(0,8-1))=10,411708710138029509757258448358 m
===
h(t)=110
t=?
h(t)=Δh * (1 + a1*(q^t-1)/(q-1))
110=35/(1+0,8*(0,8*0,8*0,8*0,8-1)/(0,8-1)) * (1 + 0,8*(0,8^t-1)/(0,8-1))
t=?
k exponentu t se dostanu pomocí logaritmu:
(110/35*(1+0,8*(0,8*0,8*0,8*0,8-1)/(0,8-1)) - 1)/(0,8)*(0,8-1) + 1 = 0,8^t
t - není možné spočítat (protože by se muselo logaritmovat záporné číslo - to nelze), v dalším bode d) bude vysvětleno proč:
---
d) jaká bude konečná výška balonu
h(t)=Δh * (1 + a1*(q^t-1)/(q-1))
balón necháme stoupat celou věčnost: t=∞
h(∞)=Δh * (1 + a1*(q^∞-1)/(q-1))
h(∞)=lim (t->∞), Δh * (1 + a1*(q^∞-1)/(q-1))
lim x->infinity 0.8^x = 0
h(∞)=Δh * (1 + a1*(0-1)/(q-1))
h(∞)=35/(1+0,8*(0,8*0,8*0,8*0,8-1)/(0,8-1)) * (1 + 0,8*(0-1)/(0,8-1))
h(∞)=35/(1+0,8*(0,8*0,8*0,8*0,8-1)/(0,8-1)) * (1 + (0,8/0,2)) = 52,05854355069014754878629224179 m
maximální výška je 52 metrů
=====
Úloha c) tedy nemá řešení, protože výška 110 m - to je více než 52 metrů.
===
což je tedy 35 * 0,8^5 = 11,46
ale jelikož zadávám všechny výsledky do jedné kolonky, a ukáže se mi pouze že je to špatně nebo dobře. Tak v případě že je to špatně, nevím, o který z výsledků se jedná
a6 = a1 * r^5
ani neznáme první člen: a1 a v zadání je, že rozdíly mezi členy jsou 80% z vystoupání předchozí minuty. Můžu tam mít nějakou numerickou chybu, ale pokud nejsou výsledky tak ji nenajdeme.
protože platí:
a5 = a1 * q^4
a6 = a1 * q^5
a5/q^4 = a1
a6/q^5 = a1
a5/q^4 = a6/q^5
a5*q = a6
=========
Říkal jsem si že je to nějaký složitý příklad, který se ve škole neřeší. Ještě se na to podívám, ale později.
a1=35 m (1 minuta)
q=0,8
a(2)=a1*q
a(3)=a2*q
a(t)=a1*q^(n-1)
ale to jsou jen přírůstky po jednotlivých minutách, potřebujeme součet řady:
S(t)=a1*(q^t-1)/(q-1)
S(6)=35*(0,8^6-1)/(0,8-1)
S(6)=129,1248 m
===============
S(10)=35*(0,8^10-1)/(0,8-1)
S(10)=156,20951808 m
=====
c) jak slouho potrvá balonu, než bude více než 110 metrů vysoko
S(t)=110
110=35*(0,8^t-1)/(0,8-1)
110/35*(0,8-1)+1=0,8^t
0,37142857142857142857142857142857 = 0,8^t
lg(0,37142857142857142857142857142857) = lg(0,8^t)
ln(0,37142857142857142857142857142857)/ln(0,8) = t
t=4,4383926767988498340278959142954 minuty
=====
t=4 min 26,3 sec
=====
d) jaká bude konečná výška balonu
S(∞)=35*(0,8^∞-1)/(0,8-1)
S(∞)=35*(0-1)/(0,8-1)
S(∞)=35/0,2=175 m
=================