rovnoramenný lichoběžník
V 5. ročníku žáci řeší úlohu: Je možné každý rovnoramenný lichoběžník ABCD jedním střihem rozdělit na dva útvary a z nich složit rovnoběžník s větším obvodem - prosím o radu, je to pravda??????
Odpovědi
Diskuze
---
Pokusím se to odvodit podle osy souměrnosti:
Podmínka: lichoběžník je rovnoramenný když: b=d
Důkaz:
o(lichoběžníku) = a+b+c+d
jeho výška je: v² + ((a-c)/2)² = b² = (d²)
rozstřižením podle osy souměrnosti kolmé na: a,c, získáme dva útvary, ze kterých je možné složit obdélník o výšce v:
v² = b² - ((a-c)/2)²
v = √( b² - ((a-c)/2)² )
v = √( b² - (a-c)²/4 )
pak bude délka obdélníka: a'=(a/2 + c/2)
pak bude šířka obdélníka: b'=v
jeho obvod bude: o'=2*(a' + b')
o'=2*(a' + b')
o'=2*((a/2 + c/2) + v )
o'=a + c + 2*√( b² - (a-c)²/4 )
nyní porovnáme obvody, předpokládáme, že je obvod lichoběžníku opravdu menší než obvod obdélníku:
o + K = o'
a+b+c+d + K = a + c + 2*√( b² - (a-c)²/4 )
b+d + K = 2*√( b² - (a-c)²/4 )
b=d
2b + K = 2*√( b² - (a-c)²/4 )
K = 2*√( b² - (a-c)²/4 ) - 2b
diskuse, kdy bude výraz K kladný ?
K>0
2*√( b² - (a-c)²/4 ) - 2b > 0
2*√( b² - (a-c)²/4 ) > 2b
√( b² - (a-c)²/4 ) > b
předpoklad: b>0
( b² - (a-c)²/4 ) > b²
0 > (a-c)²/4
(a-c)² < 0
---------- není možné splnit podmínku, protože když (a>c) tak nemůže být (a-c)² < 0, takže nemůžeme zaručit současně K>0 a (a>c)
diskuse, kdy bude výraz K záporný ?
K<0
2*√( b² - (a-c)²/4 ) - 2b < 0
2*√( b² - (a-c)²/4 ) < 2b
√( b² - (a-c)²/4 ) < b
předpoklad: b>0
( b² - (a-c)²/4 ) < b²
0 < (a-c)²/4
(a-c)² > 0
---------- není možné splnit podmínku, protože když (a>c) tak sice může být (a-c)² > 0, ale K<0, což nevyhovuje
Závěr: pokud bude lichoběžník takového tvaru, že (a>c) a (b=d) tak jeho rozstřižením podle osy souměrnosti kolmé na (a) i (c) a složením v obdélník bude jeho obvod vždy menší než byl původní lichoběžník.
Důkaz tvrzení, že získaný rovnoběžník má větší obvod než původní lichoběžník, ovšem vyžaduje Pythagorovu větu, kterou žáci 5. třídy nejspíš neznají, a řešení netriviálních nerovnic, takže formálně to může být úloha nejméně pro 9. třídu. Při úrovni dnešního školství by na důkazu shořeli i vysokoškoláci.
Tu úlohu zřejmě určil pro 5. třídu matematický negramota a ignorant, co si myslí, že místo korektního důkazu stačí arogantně a psychopaticky plácnout "to je přece jasné". NIC NENÍ jasné, v matematice se musí všechno poctivě dokázat.
u² = ((a+c)/2)² + v²
v = √( b² - (a-c)²/4 )
u² = (a+c)²/4 + ( b² - (a-c)²/4 )
u² = (a+c)²/4 + b² - (a-c)²/4
u² = (a²+2ac+c²)/4 + b² - (a²-2ac+c²)/4
u² = (ac) + b²
--------------
obvod lichoběžníku: o=a+b+c+d
obvod rovnoběžníku by byl:
o'=a+c+u+u
porovnání:
o + K = o'
a+b+c+d + K = a+c+u+u
platí: (b=d)
a+c+2b + K = a+c+2u
2b + K = 2u
K = 2u-2b
K = 2(u-b)
i bez dalšího dokazování je jasné, že úhlopříčka (u) je vždy delší než strany b,d, pokud platí (b=d). K je kladné tehdy, pokud je u>b a to je u rovnoramenného lichoběžníka vždy.
Závěrem lze říct, že opravdu je možné rozstřižením rovnoramenného lichoběžníka složit rovnoběžník, jehož obvod bude vždy delší než byl obvod původního rovnoramenného lichoběžníka.