obsah řezu, spěchá!
Je dána krychle ABCDEFGH, a=4cm. Vypočítejte obvod a obsah mnohoúhelníku, který je shodný s řezem krychle rovinou:
KLM,
K leží na AE a EK=3AK
L= střed BF
M leží na CG a CM=3GM
délky dvou stran už jsem vypočítal, ale bohužel nevím jak dál
KLM,
K leží na AE a EK=3AK
L= střed BF
M leží na CG a CM=3GM
délky dvou stran už jsem vypočítal, ale bohužel nevím jak dál
Odpovědi
Diskuze
www.wikihow.com/Calculate-the-Area-of-a-Polygon
ale není to vhodné pro výpočty v prostoru
užitečný odkaz:
vzorce-matematika.sweb.cz/vzorce-obsahu-obrazcu.php
1. vyjádřil bych analyticky všechny strany krychle
2. vyjádřil bych analyticky rovinu řezu KLM
3. vyšetřil všechny průniky roviny řezu KLM a krychle
4. tyto řezy jsou body a přímky (úsečky) > obvod je dán součtem všech úseček
5. plocha zatím nevím ale bude na to vzoreček ... nebo se to řeší vektorově
A (0,0,0)
B (1,0,0)
C (1,1,0)
D (0,1,0)
E (0,0,1)
F (1,0,1)
G (1,1,1)
H (0,1,1)
1b) sestavím rovnice rovin ~ stran krychle:
ADCB ~ Sz1:z=0
EFGH ~ Sz2:z=1
ABFE ~ Sy1:y=0
DHGC ~ Sy2:y=1
AEHD ~ Sx1:x=0
BCGF ~ Sx2:x=1
2. rovnice roviny řezu
K (0,0,1/4)
L (1,0,1/2)
M (1,1,3/4)
LK_=K-L=(-1,0,-1/4)
LM_=M-L=(0,1,1/4)
n_=LM_ x LK_ (vektorový součin dá normálový vektor)
|i,j,k|
n_=|0,1,1/4|
|-1,0,-1/4|
n_=-i*1/4 + -j*1/4 + k*0 + k*1
n_=-i*1/4 + -j*1/4 + k*1
n_ ~ (A,B,C)
L(x0,y0,z0) ~ L (1,0,1/2)
A(x-x0)+B(y-y0)+c(z-z0)=0
-1/4*(x-1)-1/4*(y-0)+1*(z-1/2)=0
-1/4*x - 1/4*y + z - 1/4=0
toto je rovnice roviny KLM (řezu):
-1/4*x - 1/4*y + z - 1/4=0
x + y - 4*z + 1 = 0
kontrola:
K (0,0,1/4);-1/4*0 - 1/4*0 + 1/4 - 1/4=0; OK
L (1,0,1/2);-1/4*1 - 1/4*0 + 1/2 - 1/4=0; OK
M (1,1,3/4);-1/4*1 - 1/4*1 + 3/4 - 1/4=0; OK
> rovina prochází body K,L,M
x + y - 4*z + 1 = 0
ADCB ~ Sz1:z=0;x + y + 1 = 0; přímka NE
EFGH ~ Sz2:z=1;x + y - 4 + 1 = 0; přímka NE
ABFE ~ Sy1:y=0;x - 4*z + 1 = 0; přímka ANO
DHGC ~ Sy2:y=1;x - 4*z + 2 = 0; přímka ANO
AEHD ~ Sx1:x=0;y - 4*z + 1 = 0; přímka ANO
BCGF ~ Sx2:x=1;y - 4*z + 2 = 0; přímka ANO
ale ne všechny řezy (přímky) mě budou zajímat některé leží mimo krychli, ty co mě zajímají označím ANO (jsou 4) řezem bude tedy čtyřúhelník
zjistím délky těchto úseček:
ABFE ~ Sy1:y=0;x - 4*z + 1 = 0; přímka ANO ~ úsečka LK
DHGC ~ Sy2:y=1;x - 4*z + 2 = 0; přímka ANO -
AEHD ~ Sx1:x=0;y - 4*z + 1 = 0; přímka ANO -
BCGF ~ Sx2:x=1;y - 4*z + 2 = 0; přímka ANO ~ úsečka LM
mám tedy body KLM a potřebuji čtvrtý bod O:
ten získám průnikem přímek:
DHGC ~ Sy2:y=1;x - 4*z + 2 = 0; přímka ANO -
AEHD ~ Sx1:x=0;y - 4*z + 1 = 0; přímka ANO -
DHGC ~ Sy2:x=0:x - 4*z + 2 = 0 >>> 0 - 4*z + 2 = 0 >>> z=1/4 >>> O(0,1,1/2); OK
AEHD ~ Sx1:y=1:y - 4*z + 1 = 0 >>> 1 - 4*z + 1 = 0 >>> z=1/4 >>> O(0,1,1/2); OK
4) Takže když mám body KLMO, můžu počítat obvod a obsah:
...
LK_=K-L=(-1,0,-1/4)
LM_=M-L=(0,1,1/4)
|LK|*|LK|=1+0+1/16=17/16
|LM|*|LM|=0+1+1/16=17/16
Protože bude platit (pouze u tohoto případu/příkladu) symetrie
bude |KO|=|OM|=|LK|=|LM|
>
Obvod = 4*|LK|=4*(17/4*4)^(1/2) = (17)^(1/2)
Obvod = 17^(1/2) j (jednotek délkových)
================
Plocha
Pro plochu platí je možné použít vektorový součin:
S=|n_|=|LMxLK|
cs.wikipedia.org/wiki/Vektorov%C3%BD_sou%C4%8Din
n_ - normálový vektor už mám spočítaný nahoře:
n_=-i*1/4 + -j*1/4 + k*1
S=|n_|=(1/16+1/16+1)^(1/2)=(18/16)^(1/2)=(2*9/16)^(1/2)
Plocha = S = 3/4 * 2^(1/2) j*j (jednotek čtverečních)
=====================================================