objem kulové úseče
Válcová nádrž s kruhovou podstavou o průměru 2,5 m je zakončena kulovými úsečemi s kruhovými podstavami o poloměru 1,25 m,Spočtěte objem nádrže v litrech jestliže je zaplněna kapalinou do 1/4 průměru.Objem válce do 1/4 průměru dám ale ty úseče nevím.
Odpovědi
Diskuze
(x/a)² + (y/b)² + (z/c)² =1
kvadrika kulová plocha:
x² + y² + z² = R²
R - konstanta - poloměr kulové plochy
Objem částečně zaplněného kulového vrchlíku:
V=∫∫ f(x,y)*dz
(S)
V=∫∫ √(R² - x² - y²)*dz
(S)
Integrujeme přes oblast (S).
Dále provedeme substituci pro polární souřadnice a integrujeme přes oblast (S).
V=∫∫ z*dx*dy
(S)
V=∫∫ √(r² - x² - y²)*dx*dy
(S)
...
r - proměnná (pozor nesouvisí s R)
φ - proměnná
x=r*cos(φ)
y=r*sin(φ)
dx=dr*cos(φ) - r*sin(φ)*dφ
dy=dr*sin(φ) + r*cos(φ)*dφ
dx*dy=(dr*cos(φ) - r*sin(φ)*dφ)(dr*sin(φ) + r*cos(φ)*dφ)
dx*dy=dr*cos(φ)*dr*sin(φ) - r*sin(φ)*dφ*dr*sin(φ) + dr*cos(φ)*r*cos(φ)*dφ - r*sin(φ)*dφ*r*cos(φ)*dφ
dx*dy= - r*sin(φ)*dφ*dr*sin(φ) + dr*cos(φ)*r*cos(φ)*dφ
dx*dy= r*(- sin(φ)*sin(φ) + cos(φ)*cos(φ) ) * dφ*dr
dx*dy= r*(1 - sin(φ)*sin(φ) + cos(φ)*cos(φ) -1) * dφ*dr
dx*dy= r*(cos²(φ) - sin²(φ)) * dφ*dr
dx*dy= r*(2*cos²(φ) - 1 ) * dφ*dr
V=∫∫ √(R² - r²*cos²(φ) - r²*sin²(φ))*r*(2*cos²(φ) - 1 ) * dφ*dr
(S)
V=∫∫ √(R² - r²)*r*(2*cos²(φ) - 1 ) * dφ*dr
(S)
r budu integrovat od 0 do R
φ budu integrovat od 0 do π