2* sin^2(x)>3cos(x)
2* sin^2(x)>3cos(x)
Odpovědi
Diskuze
mějme nerovnici:
2* sin^2(x)>3cos(x)
Nejprve využijme pravidla takzvané goniometrické jedničky, tedy že pro všechna reálná čísla x platí
sin^2(x) + cos^2(x) = 1
sin^2(x) = 1 - cos^2(x)
Dosaďme za sin^2(x)
2* (1 - cos^2(x))>3cos(x)
2 - 2*cos^2(x) > 3*cos(x)
Ekvivalentními úpravami převeďme na jednu stranu a vynásobme -1:
2*cos^2(x) + 3*cos(x) - 2 < 0
Nyní můžeme zavést substituci cos(x) = a
2*a^2 + 3*a - 2 < 0
a1 = (-3 - 5)/4 = -2
a2 = (-3 + 5)/4 = 1/2
(a + 2)*(a - 1/2) < 0
Zrušme substituci:
(cos(x) + 2)*(cos(x) - 1/2) < 0
Je zřejmé, že nerovnice bude platit právě tehdy, pokud hodnota výrazu právě v jedné závorce bude záporná.
Vzhledem k tomu, že hodnota cos(x) + 2 nemůže být záporná vůbec nikdy (obor hodnot cos je interval <-1; 1>), lze nerovnici redukovat:
cos(x) - 1/2 < 0
cos(x) < 1/2
Víme, že cos(x) = 1/2 tehdy, pokud x € {2*pi*k + pi/3; k € Z} ∪ {2*pi*k + 5*pi/3; k € Z}
Jelikož na invervalu (pi/3; 5*pi/3) se cosinus zobrazuje do záporných hodnot, je zřejmé, že výsledkem bude sjednocení nekonečného množství intervalů:
x € ∪[k€Z](2*pi*k + cos(pi/3); 2*pi*k + cos(5*pi/3)).