Středový úhel úseče kruhu
Ahoj mám vypočitat střed. úhel z délky oblouku 1454,96 mm a výšky oblouku 450,22 mm.Nevím si s tím rady jak to počítat.Jde to vůbec?
Odpovědi
Diskuze
b=α*r; délka oblouku
r²=(s/2)² + (r-h)²; vztah mezi výškou úseče a délkou tětivy
s=2*r*sin(α/2); délka tětivy
---
r²=r²*sin²(α/2) + (r-h)²
1=sin²(α/2) + (1-h/r)²
1=sin²(α/2) + (1-h/(b/α))²
1=sin²(α/2) + (1 - α*h/b)²
1=sin²(α/2) + 1² - 2*α*h/b + (α*h/b)²
0=sin²(α/2) - 2*α*h/b + (α*h/b)²
p=h/b
0=sin²(α/2) - 2*α*p + (α*p)²
nyní máme rovnici, ve které jsou jen proměnné:
α - středový úhel
b=1454,96 mm - délka oblouku
h=450,22mm - výška oblouku
p=h/b
Z rovnice je patrné, že α nelze jinak než numericky vyjádřit.
Proto použijeme Wolfram Alpha:
p=h/b = 450,22/1454,96=0,30943806015285643591576400725793=0,31
0=sin²(α/2) - 2*α*p + (α*p)²
0=sin²(α/2) - 2*α*0.31 + (α*0.31)²
Rovnici nejde řešit analyticky jen numericky, je možné použít třeba Wolfram Alpha (ten vyžaduje jako desetinný oddělovač tečku oproti českému zvyku)
0=sin²(α/2) - 2*α*0.31 + (α*0.31)²
https://www.wolframalpha.com/input/?i=0%3Dsin%C2%B2(%CE%B1%2F2)+-+2*%CE%B1*0.31+%2B+(%CE%B1*0.31)%C2%B2
α ≈ 3.00391... radiány
======================
α ≈ 3.00391.../π*180=172,111...°
======================
----
další vzorce pro kruhovou úseč:
Sv=r²/2*α; plocha výseče
St=r²/2*sin(α); plocha trojúhelníku
S=Sv-St=r²/2*(α - sin(α))
√(2*α*0.31 - (α*0.31 )²) = sin(α/2)
který vede ke stejnému řešení:
α ≈ 3.00390504824652... radiánů
=======================
α ≈ 3.00390504824652/P*180 = 172.111081322568...°
=======================
https://www.wolframalpha.com/input/?i=%E2%88%9A(2*%CE%B1*0.31+-+(%CE%B1*0.31+)%C2%B2)+%3D+arcsin(%CE%B1%2F2)
√(2*α*0.31 - (α*0.31 )²) = sin(α/2)
Můžeš použít tedy libovolný jiný program, ale jen numerický, nejde to analyticky, už jsem to tam výše psal.
Je to stejný problém jako řešit rovnici: x=sin(x), také nejde jinak než numericky. (při současném stavu matematického vědění)
Ovšem mostní oblouky jsou architektura a tam se výpočty numerické dělají, to není matematická teorie.