Prosím, potřebuji vyřešit tento příklad: Sestavte kvadratickou rovnici, jejíž kořeny jsou rovny druhým mocninám kořenů rovnice 3x na druhou - 15x + 2, aniž tuto rovnici řešíte

Anonym Gecyxok22.08.2019 13:29 Nahlásit
Prosím, potřebuji vyřešit tento příklad: Sestavte kvadratickou rovnici, jejíž kořeny jsou rovny druhým mocninám kořenů rovnice 3x na druhou - 15x + 2, aniž tuto rovnici řešíte

Odpovědi

Přidat odpověď ▾

Diskuze

Cenobita.22.08.2019 14:59 (Upr. 22.08.2019 15:37) Nahlásit
3x² - 15x + 2 = 0
x² - 5x + 2/3 = 0

obecné řešení kvadratické rovnice

x1=-b/2a+√(b²-4*a*c)/(2a)
x2=-b/2a-√(b²-4*a*c)/(2a)

podmínka 1) ze zadání pro kořeny obou rovnic:

y1=x1²
y2=x2²

dosazení podmínky do obecného řešení kvadratické rovnice:

y1=(-b/(2a)+√(b²-4*a*c)/(2a))²
y2=(-b/(2a)-√(b²-4*a*c)/(2a))²

úpravy:

y1=b²/(4a²) + 2*-b/(2a)*√(b²-4*a*c)/(2a) + (b²-4*a*c)/(4a²)
y2=b²/(4a²) - 2*-b/(2a)*√(b²-4*a*c)/(2a) + (b²-4*a*c)/(4a²)

finální vzorce pro podmínku 1):

y1=b²/(2a²) - c/a - 2*b/(2a)*√(b²-4*a*c)/(2a) = (b/a)²/2 - c/a - b/(2a²)*√(b²-4*a*c)
y2=b²/(2a²) - c/a + 2*b/(2a)*√(b²-4*a*c)/(2a) = (b/a)²/2 - c/a + b/(2a²)*√(b²-4*a*c)

nyní stačí dosadit:

a=3
b=-15
c=2

řešení:

y1=25/2 - 2/3 - 15/18*√(225-4*3*2) = 25/2 - 2/3 - 5/6*√(201)
y2=25/2 - 2/3 + 15/18*√(225-4*3*2) = 25/2 - 2/3 + 5/6*√(201)
==============
Anonym Qejijeh22.08.2019 20:54 Nahlásit
Asi možno i jinak:

Má-li rovnice 3x²-15x+2 = 0 kořeny x1, x2, pak po substituci
x = √z by rovnice 3z-15√z+2 = 0 měla mít kořeny

z1 = (x1)², z2 = (x2)².

Takže po formální úpravě iracionální rovnice 3z-15√z+2 = 0:

3z+2 = 15√z -> (3z+2)² = 225z -> 9z²-213z+4 = 0

by poslední rovnice (tj. 9z²-213z+4 = 0) měla splňovat podmínky zadání.
Anonym Qejijeh22.08.2019 20:54 Nahlásit
Asi možno i jinak:

Má-li rovnice 3x²-15x+2 = 0 kořeny x1, x2, pak po substituci
x = √z by rovnice 3z-15√z+2 = 0 měla mít kořeny

z1 = (x1)², z2 = (x2)².

Takže po formální úpravě iracionální rovnice 3z-15√z+2 = 0:

3z+2 = 15√z -> (3z+2)² = 225z -> 9z²-213z+4 = 0

by poslední rovnice (tj. 9z²-213z+4 = 0) měla splňovat podmínky zadání.
Anonym Gecyxok22.08.2019 21:56 Nahlásit
to co navrhuje cenobita je asi spravne ale strasne slozite...nesly by pouzit vietovy vzorce?????
a pak zavest x3=x1^2 a x4=x2^2????
Cenobita.22.08.2019 21:58 (Upr. 23.08.2019 09:20) Nahlásit
Anonym Qejijeh:👍

Anonym Gecyxok: mne jiné řešení zrovna nenapadlo, ale Anonym Qejijeh ti to vyřešil elegantně a rychle, co chceš víc ?
Přidat komentář do diskuze ▾