Jak se určuje obor hodnot kvadratické funkce?
Jak se určuje obor hodnot kvadratické funkce bez derivací? Jeden ze způsobů, který mě napadá je určit kořeny odpovídající kvadratické rovnice a jejich průměr říká, kde je minimum nebo maximum funkce a pak určím funkční hodnotu v tomto bodě a obor hodnot je od ní do plus nebo mínus nekonečna.
Není na to ale nějaký jiný jednodušší postup?
Není na to ale nějaký jiný jednodušší postup?
Odpovědi
Diskuze
Postup: https://cs.wikipedia.org/wiki/Parabola_(matematika)#P%C5%99eveden%C3%AD_obecn%C3%A9_rovnice_na_vrcholovou
Tvůj postup by nefungoval pro paraboly neprotínající osu x (nemající reálné kořeny, ale 2 komplexní).
x0 = -b/(2a)
y0 = c - b²/(4a) = c - a*(x0)²
https://www.karlin.mff.cuni.cz/~portal/funkce/?page=vrkf
Při doplňování na čtverec využijeme znalost vzorce (a+b)² = a² + 2ab + b²
Mějme kvadratický výraz:
y=2x²−12x+8
Vytknutím upravíme, aby keficient u kvadratického členu byl 1:
y=2(x²−6x+4)
Ze závorky uděláme čtverec podle (a+b)² = a² + 2ab + b²:
y=2(x-3)²-10
-10 je na konci proto, protože 2(x-3)² = 2(x²−6x+9) = 2x²−12x+18, čili všechno máme dobře až na tu 18 na konci a tu zkorigujeme mínus desítkou.
A ta mínus desítka říká nejmenší hodnotu funkce (pro x=3), tedy obor hodnot je -10 až nekonečno.
y=2x²−12x+8
y=ax²+bx+c
a=2
b=-12
c=8
je na to vzorec:
x0 = -b/(2a)
y0 = c - b²/(4a) = c - a*(x0)²
a=2
b=-12
c=8
x0 = 12/(2*2)=3
y0 = 8 - 2*(3)²=8-18=-10
===
protože a=+2 (kladná, obor hodnot půjde do +∞)
H ∈ <-10,+∞)