rovnice s absolutní hodnotou
x = 2 - |x-2|
Odpovědi
Diskuze
pro x = -nekonečno až 2 bude mít rovnice tvar: x = 2 - -(x-2)
a
pro x = 2 až +nekonečno bude mít rovnice tvar: x = 2 - +(x-2)
nejprve musíme najít takové hodnoty x, pro něž jsou výrazy v absolutních hodnotách rovny nule.
Řešíme tedy rovnici
x - 2 = 0
x = 2
Rovnici x = 2 - |x - 2| tedy budeme řešit ve dvou větvích zvlášť dle toho, zda je x větší nebo menší než 2.
Interval (-∞, 2> nazveme I1, interval (2, ∞) nazveme I2.
1. Řešíme rovnici s podmínkou řešitelnosti x € I1
Víme určitě, že x <= 2, pročež je zřejmé, že hodnota |x - 2| = -(x - 2). Všechny výskyty |.| nahradíme tedy za -(.)
x = 2 - |x - 2|
x = 2 + (x - 2)
x = x
Toto platí pro každé x z R, proto jsou řešením všechna reálná čísla, která splňují podmínku větve, v níž rovnici řešíme.
x € R ∩ I1 = I1
2. Řešíme rovnici s podmínkou řešitelnosti x € I2
Víme určitě, že x > 2, pročež je zřejmé, že hodnota |x - 2| = (x - 2). Všechny výskyty |.| nahradíme za (.).
x = 2 - |x - 2|
x = 2 - (x - 2)
x = 2 - x + 2
2x = 4
x = 2
S ohledem na podmínky řešitelnosti je řešení této větve následující:
x € {2} ∩ I2 = {}
Řešení v této větvi tedy neexistuje.
Řešením celé rovnice bude sjednocení řešení jednotlivých větví, tedy
x € I1 ∪ {} = I1 = (-∞, 2>.
Jinak řečeno x <= 2.