(Upr. 28.12.2020 19:34) | Nahlásit

Slovní uloha

Nádrž se plní třemi přívody , , ABC . Současně otevřenými přívody , A C se naplní za
hodinu, přívody , A B za 45 minut a přívody , B C za 1h 30 min. Jak dlouho by se plnila
každým přívodem zvlášť?
Témata: Nezařazené
Diskuze
(Upr. 28.12.2020 15:33) | Nahlásit
Přeji pěkné odpoledne, Mareli,

označme neznámými A_t, B_t a C_t čas [v minutách], který je potřeba k tomu, aby samotný kohoutek A, B nebo C naplnil celé akvarium.
Pokud víme, že kohoutky A a C naplní společně nádrž za 45 minut, pak je jasné, že samotný kohoutek A naplní za 45 minut takovou část akvaria, která činí 45 / A_t celku. A_t musí být určitě vyšší číslo než 45, tedy 45 / A_t € (0, 1). Kohoutek C zase naplní za 45 minut takovou část akvaria, která se rovná 45 / C_t celku.
Jelikož oba kohoutky naplní za 45 minut celé akvarium, musí platit 45 / A_t + 45 / C_t = 1.
Totéž platí pro zbylé kombinace kohoutků, získáváme tedy soustavu tří rovnic o třech neznámých:

45 / A_t + 45 / C_t = 1
60 / A_t + 60 / B_t = 1
90 / B_t + 90 / C_t = 1

Dále už je to jen o otrockém řešení soustavy rovnic, s tím si už určitě poradíte.
| Nahlásit
Moc děkuji. :¬)
| Nahlásit
Myslím, že to lze i zpřehlednit:
Bez újmy na obecnosti lze počítat s objemem nádrže V = 1.
Pak lze zapsat, že

a+b = 1/60 (tzn. za 1 min. se naplní 1/60 objemu nádrže),
a+c = 1/45 (tzn. za 1 min. se naplní 1/45 objemu nádrže),
b+c = 1/90 (tzn. za 1 min. se naplní 1/90 objemu nádrže).

Pak ze součtu těchto rovnic dostaneme

(a+b+c) = 1/40, a můžeme spočítat a, b, c:

a = 1/40-1/90 = 1/72 (tzn. nádrž naplní za 72 min.),
b = 1/60-1/72 = 1/360 (tzn. nádrž naplní za 360 min.)
c = 1/90-1/360 = 1/120 (tzn. nádrž naplní za 120 min).
| Nahlásit
děkuji pěkně 😄
| Nahlásit
Anonym Dyrigep, jak jste se dostali na 1/40?
Předem děkuji za odpověď
| Nahlásit
Přeji pěknou noc, Mareli,

Anonym Dyrigep provedl součet tří rovnic

a+b = 1/60
a+c = 1/45
b+c = 1/90
___________
2*(a+b+c) = 1/20

Po úpravě:

a + b + c = 1/40
| Nahlásit
Mnohokrát děkuji 😄
 Anonym
Odpovídat lze i bez registrace. Dodržujte pravidla Ontoly
Vložit: Obrázek