lokální extrémy funkce
Zdravím, jak zde prosím vypočítám lokální extrémy?
y=ln(x^2+x+1)
y=ln(x^2+x+1)
Odpovědi
Diskuze
či dokonce není ani spojitá).
2) V těchto bodech určíme hodnotu druhé derivace studované funkce. Je-li kladná, jedná se o lokální minimum, je-li záporná, jedná se o lokální maximum. Pokud je druhá derivace nulová, musíme ke konečnému
rozhodnutí o povaze extrému použít derivace vyšší.
y=0
0=ln(x^2+x+1)
exp(0)=x^2+x+1
1=x^2+x+1
0=x^2+x
0=x*(x+1)
0=(x-0)*(x+1)
kořeny
x1=0
x2=-1
y' = 0 jestliže:
2x + 1 = 0
x = -(1/2)
V tomto bodě může být extrém.
y'' = [2.(x^2 + 2x + 1) - (2x + 1).(2x + 2)] / (x^2 + 2x + 1)^2
y'' v bodě -(1/2)má hodnotu:
y''(-1/2) = [2.(1/4 - 1 + 1) - (-1 + 1).(něco)] / (1/4 - 1 + 1)^2 =
= (1/2 - 0) / nějaké_kladné_číslo
Tento zlomek je zjevně kladný, tedy funkce má v bodě lokální minimum.
https://www.wolframalpha.com/input/?i=plot+ln%28x%5E2%2Bx%2B1%29
špatně jsem si funkci přepsal (místo x^2 + x + 1 mám x^2 + 2x + 1), takže se mi tam ve výpočtech někde objevuje 2 místo 1. Tazatel si to jistě dokáže přepočítat. Výsledek je ale správně.
-----------------------------------------------------------------------
y' = 1/(x^2 + x + 1) . (2x + 1)
y' = 0 jestliže:
2x + 1 = 0
x = -(1/2)
V tomto bodě může být extrém.
y'' = [2.(x^2 + x + 1) - (2x + 1).(2x + 1)] / (x^2 + x + 1)^2
y'' v bodě -(1/2)má hodnotu:
y''(-1/2) = [2.(1/4 - 1/2 + 1) - (-1 + 1).(něco)] / (1/4 - 1/2 + 1)^2 =
= (1/2 - 0.něco) / nějaké_kladné_číslo
Tento zlomek je zjevně kladný, tedy funkce má v bodě lokální minimum.
y''(-1/2) = ... = (2.3/4 - 0.něco) / nějaké_kladné_číslo