lokální extrémy funkce

1) Nalezneme podezřelé body, tj. body, v nichž má funkce nulovou první derivaci (nebo první derivaci nemá
či dokonce není ani spojitá).
2) V těchto bodech určíme hodnotu druhé derivace studované funkce. Je-li kladná, jedná se o lokální minimum, je-li záporná, jedná se o lokální maximum. Pokud je druhá derivace nulová, musíme ke konečnému
rozhodnutí o povaze extrému použít derivace vyšší.

y=ln(x^2+x+1)

y=0
0=ln(x^2+x+1)
exp(0)=x^2+x+1
1=x^2+x+1
0=x^2+x
0=x*(x+1)
0=(x-0)*(x+1)

kořeny
x1=0
x2=-1

@Cenobita: neptají se na kořeny, ale extrémy. Musíš nejdříve derivovat, než začneš hledat kořeny.

y' = 1/(x^2 + 2x + 1) . (2x + 1)

y' = 0 jestliže:

2x + 1 = 0
x = -(1/2)

V tomto bodě může být extrém.

y'' = [2.(x^2 + 2x + 1) - (2x + 1).(2x + 2)] / (x^2 + 2x + 1)^2

y'' v bodě -(1/2)má hodnotu:

y''(-1/2) = [2.(1/4 - 1 + 1) - (-1 + 1).(něco)] / (1/4 - 1 + 1)^2 =
= (1/2 - 0) / nějaké_kladné_číslo

Tento zlomek je zjevně kladný, tedy funkce má v bodě lokální minimum.

https://www.wolframalpha.com/input/?i=plot+ln%28x%5E2%2Bx%2B1%29

OPRAVA:

špatně jsem si funkci přepsal (místo x^2 + x + 1 mám x^2 + 2x + 1), takže se mi tam ve výpočtech někde objevuje 2 místo 1. Tazatel si to jistě dokáže přepočítat. Výsledek je ale správně.

Nedalo mi to a přepočítal jsem to. Překlep neměl na výpočet žádný vliv.
-----------------------------------------------------------------------

y' = 1/(x^2 + x + 1) . (2x + 1)

y' = 0 jestliže:

2x + 1 = 0
x = -(1/2)

V tomto bodě může být extrém.

y'' = [2.(x^2 + x + 1) - (2x + 1).(2x + 1)] / (x^2 + x + 1)^2

y'' v bodě -(1/2)má hodnotu:

y''(-1/2) = [2.(1/4 - 1/2 + 1) - (-1 + 1).(něco)] / (1/4 - 1/2 + 1)^2 =
= (1/2 - 0.něco) / nějaké_kladné_číslo

Tento zlomek je zjevně kladný, tedy funkce má v bodě lokální minimum.

Tak ještě jedna malá chybička v úplně poslední úpravě:

y''(-1/2) = ... = (2.3/4 - 0.něco) / nějaké_kladné_číslo

Anonym Vivuxun: kořeny jsou součásti řešení průběhu funkce

@Cenobita: Průběh je v tomto případě nezajímavý. Zajímají nás jen extrémy.