Rovnice elipsy
Napište rovnici elipsy v osovém tvaru, je-li dána její excentricita e=2 a tečna 2x+3y+9=0
Odpovědi
Diskuze
a*a = e*e + b*b
e=2
a*a = 2*2 + b*b
---
obecná rovnice elipsy:
x*x/a*a + y*y/b*b = 1
---
parametrická rovnice elipsy:
x=a*cos t
y=b*sin t
dx=-a*sin t *dt
dy=b*cos t *dt
směrnice elipsy:
dy/dx=-b/a*cos t/sin t (1)
---
přímka:
2x+3y+9=0
y=-2/3*x-9/3
y=-2/3*x-3
má směrnici:
k=dy/dx= -2/3 (2)
---
z rovnice (1) a (2) platí:
-2/3=-b/a*cos t/sin t
2/3=b/a*cos t/sin t (1. rovnice)
-------------------
do rovnice přímky dosadím elipsu (parametrické rovnice elipsy):
y=-2/3*x-3 (přímka ~ tečna)
b*sin t = -2/3*(a*cos t) - 3 (2. rovnice)
---
soustava 3 rovnic:
2/3=b/a*cos t/sin t (1. rovnice)
b*sin t = -2/3*(a*cos t) - 3 (2. rovnice)
a*a = 2*2 + b*b
---
soustava 2 rovnic:
2/3=b/(2*2 + b*b)^(1/2) * cos t/sin t
b*sin t = -2/3 * (2*2 + b*b)^(1/2) * cos t - 3
http://www.wolframalpha.com/input/?i=2%2F3%3Db%2F%282*2+%2B+b*b%29%5E%281%2F2%29+*+cos+t%2Fsin+t%3Bb*sin+t+%3D+-2%2F3+*+%282*2+%2B+b*b%29%5E%281%2F2%29+*+cos+t+-+3
b=-√5
b=√5
====
ještě potřebujeme konstantu 'a':
a*a = 2*2 + √5*√5
a=3
x*x/a*a + y*y/b*b = 1
x*x/9 + y*y/5 = 1
=================
PS: možná existuje i elegantnější řešení ...