Úloha o pohybu
Ahoj, mám problém s jednou úlohou o pohybu. Budu vděčný za jakoukoliv radu.
První auto jelo rychlostí v1>v2 a začalo zpomalovat se zrychlením a1. Ve vzdálenosti l před prvním autem jelo druhé auto rovnoměrným pohybem rychlostí v2<v1. Jaká bude minimální vzdálenost mezi auty a jakou největší rychlostí může první auto jet, aby do sebe auta nenabourala?
Má někdo nějaký nápad? Napadlo mě, že minimální vzdálenost mezi auty bude, když první auto zpomalí na rychlost druhého auta, ale nějak mi ty výpočty nevychází, protože nevím, jak mezi to započítat tu vzdálenost l. Jak vypočítat tu maximální rychlost mě vůbec nenapadá.
Díky za rady.
První auto jelo rychlostí v1>v2 a začalo zpomalovat se zrychlením a1. Ve vzdálenosti l před prvním autem jelo druhé auto rovnoměrným pohybem rychlostí v2<v1. Jaká bude minimální vzdálenost mezi auty a jakou největší rychlostí může první auto jet, aby do sebe auta nenabourala?
Má někdo nějaký nápad? Napadlo mě, že minimální vzdálenost mezi auty bude, když první auto zpomalí na rychlost druhého auta, ale nějak mi ty výpočty nevychází, protože nevím, jak mezi to započítat tu vzdálenost l. Jak vypočítat tu maximální rychlost mě vůbec nenapadá.
Díky za rady.
Odpovědi
Diskuze
v2=v1-a1*t
z toho je možné zjistit čas brzdění:
t=(v1-v2)/a1
t1=(v1-v2)/a1 (toto je čas t1, po jaký musí auto (1) brzdit se zpomalením a1)
nyní nás zajímá, jakou dráhu po dobu brzdění (výše vypočítaný čas t1) auto (1) ujede:
s0 - původní vzdálenost mezi auty (v zadání je "l")
s=(v1-v2)*t-1/2*a1*t*t
s0=(v1-v2)*t-1/2*a1*t*t
s0=(v1-v2)*(v1-v2)/a1-1/2*a1*((v1-v2)/a1)*((v1-v2)/a1)
s0=1/2 * (v1-v2)*(v1-v2)/a1 (minimální vzdálenost v zadání je "l" mezi auty nutná k tomu aby auto (1) nenarazilo do auta (2))
s0=1/2 * (v1-v2)*(v1-v2)/a1
===========================
2*s0*a1=(v1-v2)*(v1-v2)
2*s0*a1=(v1*v1-2*v1*v2+v2*v2) (je to kvadratická rovnice, upravíme ji pro výpočet rychlosti v1)
v=v1
2*s0*a1=(v*v-2*v1*v2+v2*v2)
v*v-2*v*v2+v2*v2-2*s0*a1 = 0
=============================
Vyřešením kvadratické rovnice bude známa největší rychlost v=v1, kterou bude moci auto (1) jet a brzdit se zpomalením a1 tak, aby nenarazilo do před ním jedoucího auta ve vzdálenosti s0 (původně v zadání l).
minimální vzdálenost je:
s0=1/2 * (v1-v2)*(v1-v2)/a1
===========================
největší rychlostí, kterou může první auto jet, aby do sebe auta nenabourala je:
v*v-2*v*v2+v2*v2-2*s0*a1 = 0
=============================
Auta do sebe nenabourají, když v okamžiku, kdy rychlost prvního auta klesne z v1 na v2 (budou mít stejnou rychlost), bude mezi nimi vzdálenost 0 (pojedou těsně za sebou stejnou rychlostí).
První auto pojede během brzdění průměrnou rychlostí (v1+V2)/2 a urazí za čas t dráhu l:
l = t*(v1 + v2)/2 => v1 = (2*l/t) - v2 je maximální rychlost prvního auta, při které ještě nedojde ke srážce. Čas t vypočteme ze zpomalení a1:
v2 = a1*t + v1 => t = (v2 - v1)/a1
Další využití těchto vztahů závisí na zadaných parametrech. Jen znova připomínám, minimální vzdálenost je nula za předpokladu, že v1 klesne do tohoto okamžiku na v2.
Na příklad když máš zadané obě rychlosti, velikost zpomalení A1 a vzdálenost l můžeš počiítat minimální vzdálenost:
l(min) = l - t*(v1 + v2)/2 = l - (v2 - v1)*(v2 + v1)/(2*a1) = l - (v2^2 - v1^2)/(2*a1)
Připomínám, že zpomalení a1 je záporné!
Stačí?
průměrná rychlost při brzdění prvního auta je: (v1-v2)/2
Průměrná rychlost při brzdění je rychlost, kterou bude překonávána vzdálenost mezi auty. Jestliže bude rozdíl rychlostí auta (1) a (2) malý, bude trvat dlouho (průměrná rychlost bude malá) než auto (1) dožene auto (2), což odpovídá diferenci (v1-v2)/2.
V případě že by jela auta proti sobě pak by se rychlosti sčítaly: (v1+v2)/2
v1 = 20 ms-1
v2 = 15 ms-1
a1 = 2,5 ms-2
L = 15 m
Nejmenší vzdálenost bude, až se rychlosti obou aut vyrovnají v čase t:
t = (v1-v2)/a1 = 2 s
Za čas t ujede první auto dráhu s1:
s1 = v1t - 0,5*a1*t*t = 35 m
Druhé auto ujede dráhu s2:
s2 = v2t = 30 m
A teď jsem si udělala obrázek, ve kterém jsem vzala v úvahu i tu vzdálenost 15 m a vyšlo mi, že minimální vzdálenost je l(min) = 15-(35-30) = 10 m.
Je to správný postup nebo tam je někde chyba? Díky.
Ještě mám vypočítat: Jakou největší rychlostí v(max) může první automobil jet před začátkem brzdění, aby nedošlo ke srážce?
Poradí mi prosím někdo, nějak to z těch postupů nahoře nechápu.