Jak byste toto vypočítali? [trojúhelník]
Jak byste postupovali v tomto matematickém zadání?
Určete strany trojúhelníka, jestliže jsou v poměru 5:6:8 a výška trojúhelníka je 5 cm.
Určete strany trojúhelníka, jestliže jsou v poměru 5:6:8 a výška trojúhelníka je 5 cm.
Odpovědi
Diskuze
Předpokládejme pro počátek výpočtu, že strany trojúhelníku mají délky 5x, 6x a 8x proti směru hodinových ručiček a strana 8x je základna. Toto odpovídá běžnému zadání trojúhelníku délkami jeho stran a:b:c. (Pokud má trojúhelník strany popsán PO směru hodinových ručiček, jedná se jen o zrcadlové zobrazení a všechny číselné hodnoty jsou stejné).
Protože není zadáno, na kterou stranu je ta uvedená výška, později ve výpočtu uvedeme postup a řešení pro všechny 3 možné situace, tj. je to výška na stranu 8x, nebo 5x, nebo 6x.
----------
Výpočet úhlu alfa:
kosinová věta:
(5x)^2 = (6x)^2 + (8x)^2 - 2.(6x).(8x).cos(alfa)
25x^2 = 36x^2 + 64x^2 - 96x^2.cos(alfa)
cos(alfa) = 0,78125
alfa = 38,6°
Beta lze spočítat podobně kosinovou větou nebo rychleji sinovou větou:
5x/sin(alfa) = 6x/sin(beta)
sin(beta) = (6/5).sin(alfa)
sin(beta) = 0,749
beta = 48,5°
gama = 180 - (alfa + beta)
gama = 92,9°
====================
Situace 1: zadaná výška je výška na stranu 8x
Z náčrtku je vidět, že:
sin(alfa) = v/6x
x = (1/6).v/sin(alfa)
x = (1/6).5/sin(38,6°)
x = 1,335
Trojúhelník má strany 5.1,335, 6.1,335, 8.1,335, neboli 6,675cm, 8cm a 10,7cm.
----------------
Situace 2: zadaná výška je výška na stranu 5x
Obdobným výpočtem jako v situaci 1 dostáváme:
sin(beta) = v/8x
x = (1/8).v/sin(beta)
x = (1/8).5/0,749
x = 1,1984
Trojúhelník má strany 6cm, 7,2cm a 9,6cm.
----------------
Situace 3: zadaná výška je výška na stranu 6x
sin(gama) = v/5x
x = (1/5).v/sin(gama)
x = (1/5).5/sin(92,9°)
x = 1/sin(92,9°)
x = 1
Trojúhelník má strany 5cm, 6cm a 8cm.