Do jaké výše hr vystoupí hladina kapaliny u stěny svisle rotující válcovité nádoby vnitřního poloměru 0,1 m, jež vykonává 300 otáček za minutu, je-li výška hladiny v klidu právě 1 m. (hr = 1,25 m)

nnnnn24.05.2015 23:36 Nahlásit

Odpovědi

Přidat odpověď ▾

Diskuze

Cenobita.25.05.2015 11:37 (Upr. 25.05.2015 17:09) Nahlásit
řeší se rotační paraboloid

---

sestavení diferenciální rovnice:

tlak:
p=F/S
p=h*ρ*g
h=y
F/S=y*ρ*g
F=y*ρ*g*S
S=2π*r*y
F=y*ρ*g*2π*r*y
dFt=dF=y*ρ*g*2π*r*dy

odstředivá síla:
F=m*an
an=v*v/r
v=ω*r
F=m*ω*ω*r
m=ρ*V
F=ρ*V*ω*ω*r
dF=ρ*dV*ω*ω*r
dV=2π*r*y*dr
dFo=dF=ρ*2π*r*y*dr*ω*ω*r

---
dFt = dFo
y*ρ*g*2π*r*dy = ρ*2π*r*y*dr*ω*ω*r
g*dy = dr*ω*ω*r

integrujeme diferenciální rovnici v mezích: r=<0,R> y=<0,H>

g*dy = dr*ω*ω*r
y = ω*ω/2g * r²
H = ω*ω/2g * R²
===============

Vypočítaná rovnice popisuje křivku hladiny jako parabolu, když kapalina rotuje je to rotační paraboloid.

... ještě je potřeba spočítat objem rotující kapaliny a výšku kam vystoupí.

dvojný integrál pro objem pod plochou:

V=∫∫(S) f(x,y)*dx*dy

f(r)=y=ω*ω/2g * r² + y0


V=∫(r) f(r)2πrdr
V=∫(ω*ω/2g * r² + y0)*2πrdr
V=2π∫(ω*ω/2g * r²*rdr + y0*rdr)
V=2π∫(ω*ω/2g * r³*dr + y0*rdr)

V=2π[(ω*ω/2g * r(^4)/4 + y0*r²/2]<0,R>
V=2π[(ω*ω/8g * R(^4) + y0*R²/2]
V=[paraboloid + válec]
pokud kapalina nerotuje má objem: V=πR²*h0
pokud rotuje, má stále stejný objem, ale parabolický tvar:

V=V

πR²*h0=2π[(ω*ω/8g * R(^4) + y0*R²/2]

h0 = [(ω*ω/4g * R² + y0]

h(r)=ω*ω/2g * r² + y0
h(R)=ω*ω/2g * R² + h0 - (ω*ω/4g * R²)
h(R)=ω*ω/4g * R² + h0
=====================

Lze konstatovat, že hladina kapaliny v klidu půlí výšku paraboloidu za rotace.
Přidat komentář do diskuze ▾