Jak vypočítat objem pravidelného šestibokého jehlanu?

Anonym Nituzoh19.03.2014 16:47 Nahlásit
Délka podstavné hrany a pravidelného šestibokého jehlanu je odmocnina ze 3 cm. Pro odchylku podstavné a boční hrany platí, že tg alfa = 2. Určete objem jehlanu.

Výsledek má být 9/4 cm3, ale mně pořád vychází 9 cm3.

Výška jednoho trojúhelníku v podstavě mi vyšla 3/2 cm, obsah podstavy (9 odmocnin ze 3)/2 cm a výška jehlanu 2 odmocniny ze 3 cm. Potom jsem to dosadila do vztahu V = 1/3 Sp.v
Prosím o pomoc, nemůžu najít chybu.

Odpovědi

Přidat odpověď ▾

Diskuze

Vlaďka 9894019.03.2014 17:47 (Upr. 19.03.2014 18:03) Nahlásit
Podstavou je pravidelný šestiúhelník, který tvoří 6 rovnostranných trojúhelníků. Pokud neznáš přímo vzorec na výpočet obsahu rovnostranného trojúhelníku, pomůžeš si rozdělením trojúhelníku na dva pravoúhlé (jeho výškou). Pak platí např. sin 60° = v_t/sqrt 3, kde v_t = výška trojúhelníku a sqrt = odmocnina. Platí v_t = sqrt 3/2 * sqrt 3 = 3/2 (cm). Pak obsah jednoho trojúhelníku je roven: sqrt 3 * 3/4. Obsah celé podstavy: 6 * (3/4)sqrt 3 = 9/2 sqrt 3. Odchylka boční hrany a podstavné hrany je 60 °. Pro výpočet stěnové výšky tedy platí: tg (alfa) = s/(a/2) => s = a*tg(alfa)/2. Dosadíme: s= sqrt 3*2/2 = sqrt 3. Pythagorovou větou dostaneme: v= sqrt[(sqrt 3)^2 - (3/2)^2] = sqrt(3-9/4) = sqrt(3/4) = sqrt 3/2. Pro objem jehlanu platí: 1/3 * 9 sqrt 3/2 * sqrt 3/2 = 9/4 cm^3
Vlaďka 9894019.03.2014 18:05 Nahlásit
Chybu jsi měla někde ve výpočtu výšky jehlanu. Zřejmě sis špatně označil(a) odchylku. Je mezi boční a podstavnou hranou. Tangensem odchylky vypočítáš stěnovou výšku, která s výškou jehlanu a výškou podstavného trojúhelníku tvoří pravoúhlý trojúhelník. Někde v tomhle úseku jsi musel(a) udělat chybičku.
Anonym Nituzoh19.03.2014 18:14 Nahlásit
Jo, to jsem ještě měla dobře. Ale děkuju za pomoc. Už jsem zjistila chybu - počítala jsem s odchylkou podstavy a boční hrany a ne s odchylkou podstavné hrany a boční hrany :)
Anonym Nituzoh19.03.2014 18:14 Nahlásit
Jo, to jsem ještě měla dobře. Ale děkuju za pomoc. Už jsem zjistila chybu - počítala jsem s odchylkou podstavy a boční hrany a ne s odchylkou podstavné hrany a boční hrany :)
Přidat komentář do diskuze ▾