Tečna hyperboly
Dobrý den. Pomohl by někdo, prosím, s následujícím příkladem?
Bodem A [2;1] veďte všechny přímky, které mají s hyperbolou H: x^2-2*y^2 = 2 jediný společný bod.
Je mi jasné, že hledám tečny; tu první už mám: t1: y=x-1. Vůbec ale nevím, jak přijít na ty další [x-2=±(y-1)*√2]...
Bodem A [2;1] veďte všechny přímky, které mají s hyperbolou H: x^2-2*y^2 = 2 jediný společný bod.
Je mi jasné, že hledám tečny; tu první už mám: t1: y=x-1. Vůbec ale nevím, jak přijít na ty další [x-2=±(y-1)*√2]...
Odpovědi
Diskuze
Také mi vyšlo y=x-1 a z obrázku taky nechápu, kam se ty další tečny mají vejít.
Doplnění: po nakreslení výsledků z řešení to vypadá jako asymptoty se středem posunutým do bodu A, resp. rovnice asymptot posunuté vertikálně tak, aby procházeli bodem A.
https://www.wolframalpha.com/input/?i=plot+x%5E2-2y%5E2+%3D+2%3B+x-2%3D%28y-1%29sqrt2%3B+x-2%3D-%28y-1%29sqrt2+for+x%3D-6...6+y%3D-4...4
x^2 -2y^2 = 2
(x^2)/2 - (y^2)/1 = 1
a = odm(2)
b=1
asymptoty: y = +/-(b/a)x
x = +/-(a/b)y
x = +/-odm(2)y
Rovnice přímky procházející A:
x = +/-odm(2)y + q
A[2;1] je prvkem přímky:
2 = +/-odm(2).1 + q
q = 2 -/+odm(2)
Výsledný tvar přímek:
x = +/-odm(2)y + 2 -/+odm(2)
x - 2 = +/-odm(2)y -/+odm(2)
x - 2 = +/-odm(2).(y -/+ 1)
V té závorce s "y" mi vyšlo někde extra "+", ale chyb už určitě někde dokážeš najít sám.
Rovnice asymptot obecné hyperboly jsem našel na https://en.wikipedia.org/wiki/Hyperbola