Prosím o vypočítání
Odpovědi
Diskuze
p:x+1=(y-2)/2=z/3
Nejprve musíme odvodit parametrickou rovnici přímky: p
x+1=(y-2)/2
y=2x+4
x=t (1.)
y=2t+4 (2.)
x+1=z/3
3x+3=z
z=3t+3 (3.)
parametrické rovnice přímky p:
x=t (1.)
y=2t+4 (2.)
z=3t+3 (3.)
nyní zjistíme průnik přímky p s rovinou: r
x+2y+3z+4 = 0
t+2(2t+4)+3(3t+3)+4 = 0
t+(4t+8)+(9t+9)+4 = 0
14t+21 = 0
2t+3 = 0
t=-3/2
======
průnik přímky s rovinou:
t=-3/2
x=t
y=2t+4
z=3t+3
x=-3/2
y=1
z=-3/2
bod průniku přímky: p s rovinou: r je B[-3/2,1,-3/2]
AB=B-A=B[-3/2,1,-3/2] - A[0,-1,2]=[-3/2 , 2 , -7/2]
rovnice přímky je:
AB=a[ax,ay,az]
B[x0,y0,z0]
x=ax*t + x0
y=ay*t + y0
z=az*t + z0
výsledná rovnice přímky:
x= -3/2*t - 3/2
y= +2*t + 1
z= -7/2*t - 3/2
===============
2)
p:
A[2,-4,5]
B[0,-10,7]
q:
C[3,-1,4]
D[1,-2,4]
vektory:
AB=B-A=[-2,-6,2]
CD=D-C=[-2,-1,0]
vektory jsou různé, přímky jsou mimoběžné.
x=2+t
y=-t
z=-1+6t
M[0,-4,4]
pro výpočet potřebujeme znát tři body roviny, další dva body vypočítáme vhodnou volbou parametru: t
t=0
x=2+t; x=2
y=-t; t=0
z=-1+6t; t=-1
bod N[2,0,-1]
t=1
x=2+t; x=3
y=-t; t=-1
z=-1+6t; t=5
bod O[3,-1,5]
nyní potřebujeme zjistit vektory:
MN=N-M=N[2,0,-1] - M[0,-4,4] = [2,4,-5]
MO=O-M=O[3,-1,5] - M[0,-4,4] = [3,3,1]
nyní vypočítáme normálový vektor pomocí Sarrusova pravidla (vektorový součin):
n=MN × MO
(i,j,k)
[2,4,-5]
[3,3,1]
[2,4,-5]×[3,3,1]=[19,-17,-6]
https://www.wolframalpha.com/input/?i=%5B2,4,-5%5D%C3%97%5B3,3,1%5D%3D
obecná rovnice roviny:
Ax+By+Cz+D=0
normálový vektor n[A,B,C]
Ax+By+Cz+D=0
19x - 17y - 6z + D = 0
nyní potřebujeme vypočítat konstantu D:
stačí dosadit libovolný bod roviny, dosadíme bod M:
19x - 17y - 6z + D = 0
M[0,-4,4]
19*(0) - 17*(-4) - 6*(4) + D = 0
0 + 68 - 24 + D = 0
0 + 68 - 24 + D = 0
D=-44
obecná rovnice roviny:
19x - 17y - 6z -44 = 0
======================
Zkouška:
M[0,-4,4]
19x - 17y - 6z -44 = 0
19*0 - 17*(-4) - 6*(4) -44 = 0
0=0, OK
-------
Zkouška:
N[2,0,-1]
19x - 17y - 6z -44 = 0
19*2 - 17*(0) - 6*(-1) -44 = 0
0=0, OK
-------
Zkouška:
O[3,-1,5]
19x - 17y - 6z -44 = 0
19*3 - 17*(-1) - 6*(5) -44 = 0
0=0, OK
-------
r: 3x-y-7z+11=0
s: 2x-8y-z+12=0
normálové vektory rovin:
nr(3,-1,-7)
ns(2,-8,-1)
Pokud by byly roviny rovnoběžné, muselo by platit:
nr=ns * k
což neplatí, takže jsou roviny r,s, různoběžné.