Nekonečná řada - slovní úloha
Dobrý den. Řeším příklad na nekonečnou řadu, vyzkoušela jsem už všemožné způsoby výpočtu a stále nedocházím k výsledku, který by měl být správný. (Může ovšem být i špatný, moje učebnice je celkem nespolehlivá.) Pomohl by mi někdo s řešením, prosím?
Do čtverce ABCD je vepsán čtverec A1B1C1D1 tak, že jeho vrcholy leží ve středech stran čtverce ABCD. Čtverci A1B1C1D1 je vepsán čtverec A2B2C2D2 tak, že jeho vrcholy leží ve středech stran čtverce A1B1C1D1. Jaký je součet a) obvodů b) obsahů všech čtverců, je-li délka strany a?
Zkoušela jsem klasickou Pythagorovu větu, ale výsledek se mi neshodoval s tím, když jsem počítala přes součet nekonečné řady...
Do čtverce ABCD je vepsán čtverec A1B1C1D1 tak, že jeho vrcholy leží ve středech stran čtverce ABCD. Čtverci A1B1C1D1 je vepsán čtverec A2B2C2D2 tak, že jeho vrcholy leží ve středech stran čtverce A1B1C1D1. Jaký je součet a) obvodů b) obsahů všech čtverců, je-li délka strany a?
Zkoušela jsem klasickou Pythagorovu větu, ale výsledek se mi neshodoval s tím, když jsem počítala přes součet nekonečné řady...
Odpovědi
Diskuze
čtverec A1B1C1D1 má stranu: a2
(a/2)² + (a/2)² = (a2)²; Pythagorova věta
a² + a² = 4*(a2)²
2*a² = 4*(a2)²
a²/2 = (a2)²
a2 = a /√2
pak musí platit (pro další vnořené čtverce):
a3 = a2 /√2
a4 = a3 /√2
atd.
1) obvody
O = 4*a + 4*a2 + 4*a3 ...
O = 4*(a + a2 + a3 ...)
O = 4*(a + a /√2 + a /(√2*√2) ...)
O = 4*a(1 + 1/√2 + 1/(√2*√2) ...); jde o součet geometrické posloupnosti
Sn=1 + 1/√2 + 1/(√2*√2) ...
Sn - 1 = 1/√2 + 1/(√2*√2) ...
Sn - 1 = 1/√2 * (1 + 1/(√2) +1/(√2*√2) ...)
Sn - 1 = 1/√2 * (Sn)
Sn - 1/√2 * (Sn) = 1
Sn*(1 - 1/√2) = 1
Sn = 1/(1 - 1/√2)
O=4*a * 1/(1 - 1/√2)
O=4*a/(1 - 1/√2) * (1 + 1/√2)/(1 + 1/√2)
O=4*a/(1 - 1/2) * (1 + 1/√2)
O=4*a * 1/(1 - 1/√2)
O=4*a/(1 - 1/√2) * (1 + 1/√2)/(1 + 1/√2)
O=4*a/(1 - 1/2) * (1 + 1/√2)
O=4*a/(1/2) * (1 + 1/√2)
O=8*a*(1 + 1/√2)
O=8*a*(2/2 + √2/2)
O=4*a*(2 + √2)
============
2) obsahy
S = a² + (a2)² + (a3)² + ...
S = a² + (a/√2)² + ( a/(√2*√2) )² + ...
S = a²*(1 + (1/√2)² + (1/(√2*√2))² + (1/(√2*√2*√2))² + ...
S = a²*(1 + 1/2 + 1/4 + 1/8) + ... ; jde o součet geometrické posloupnosti
S = a²*(1 + 1) + ... ; jde o součet geometrické posloupnosti
S = a²*(2)
S = 2*a²
========