Trojúhelník, příklad

Anonym Xopeked26.08.2013 17:21 Nahlásit
Jak vypočítat trojúhelník ABC s pravým uhlem při vrcholu C je délka těžnice ta=4cm a težnice tb=6cm. Vypočítej velikosti vnitřních úhlů trojúhelníku ABC a jeho obvod a obsah.?

Odpovědi

Přidat odpověď ▾

Diskuze

Cenobita.27.08.2013 15:14 (Upr. 28.08.2013 12:44) Nahlásit
jsou na to vzorečky:

http://cs.wikipedia.org/wiki/Troj%C3%BAheln%C3%ADk

1. fáze

4*ta*ta=2*(b*b+c*c)-a*a (1)
4*tb*tb=2*(a*a+c*c)-b*b (2)
4*tc*tc=2*(a*a+b*b)-c*c (3)
---------------------------
(sečteme rovnice (1 a 2) >

4*ta*ta + 4*tb*tb = 2*(b*b+c*c)-a*a + 2*(a*a+c*c)-b*b
4*(ta*ta + tb*tb) = a*a + b*b + 4*c*c

(Pythagorova věta: a*a + b*b = c*c) >
4*(ta*ta + tb*tb) = 5*c*c

4/5*(ta*ta + tb*tb) = c*c
=========================

Z Thaletovy kružnice musí platit:
tc=1/2*c
========

což se dá odvodit i z rovnice (3)

4*tc*tc=2*(a*a+b*b)-c*c (3)

(Pythagorova věta: a*a + b*b = c*c) >

4*tc*tc=2*(a*a+b*b)-c*c
4*tc*tc=2*(c*c)-c*c
4*tc*tc=c*c

2*tc=c
======
Cenobita.27.08.2013 16:47 (Upr. 27.08.2013 16:53) Nahlásit
2. fáze

4*ta*ta=2*(b*b+c*c)-a*a (1)
4*tb*tb=2*(a*a+c*c)-b*b (2)
4*tc*tc=2*(a*a+b*b)-c*c (3)

(odečteme rovnice (1 a 2) >
4*ta*ta - 4*tb*tb = 2*(b*b+c*c)-a*a - 2*(a*a+c*c)+b*b
4*ta*ta - 4*tb*tb = 3*(b*b-a*a)

4/3*(ta*ta - tb*tb) = (b*b-a*a+c*c-c*c)
4/3*(ta*ta - tb*tb) = (2*b*b-c*c)
2/3*(ta*ta - tb*tb) + 1/2*c*c = b*b
===================================

a ještě upravím pro další stranu:

4/3*(ta*ta - tb*tb) = (b*b-a*a+c*c-c*c)
4/3*(ta*ta - tb*tb) = (-2*a*a+c*c)
a*a = 1/2*c*c - 2/3*(ta*ta - tb*tb)
===================================

nyní znám vzorečky pro strany:a,b,c, je nutné si numericky vyčíslit a,b,c ...

Dále se vypočítá plocha:

S=a*b/2
=======

Obvod:
o=a+b+c
=======

vnitřní úhly:
-------------
a/b=tan(alfa)
b/a=tan(beta)

gama=90°
Cenobita.27.08.2013 17:40 (Upr. 27.08.2013 18:11) Nahlásit
ta=4cm
tb=6cm

4/5*(ta*ta + tb*tb) = c*c
4/5*(4*4 + 6*6) = c*c
4/5*(52) = c*c

2/3*(ta*ta - tb*tb) + 1/2*c*c = b*b
2/3*(4*4 - 6*6) + 1/2*4/5*(52) = b*b
104/5-40/3 = b*b

112/15=b*b
==========

1/2*c*c - 2/3*(ta*ta - tb*tb) = a*a
1/2*4/5*(52) - 2/3*(4*4 - 6*6) = a*a
104/5 + 40/3 = a*a

512/15=a*a
===========

4*S*S=a*a*b*b
4*S*S=512/15*112/15

S=1/30*(512*112)^1/2
====================

S=32/15*(14)^1/2
================

S=7,9822024251177416225786639622753 cm2
=======================================
Cenobita.27.08.2013 18:34 (Upr. 27.08.2013 18:36) Nahlásit
112/15=b*b
512/15=a*a

a/b=tan(alfa)
a*a / b*b = tan(alfa)*tan(alfa)

512/15 / 112/15 = tan(alfa)*tan(alfa)
512/112 = tan(alfa)*tan(alfa)
32/7 = tan(alfa)*tan(alfa)

alfa=64,934170775005300167125461433023°
=======================================

b/a=tan(beta)
b*b / a*a = tan(beta)*tan(beta)

7/32=tan(beta)*tan(beta)

beta=25,065829224994699832874538566977°
======================================

gama=90°
=======
Přidat komentář do diskuze ▾