Definiční obor funkce

Anonym Dajypux01.11.2015 10:15 Nahlásit
Mám funkci: sqrt(lnx*arcsin(6x-5))

6x-5>= -1 6x-5<= 1
tohle jsem vyřešil a pak ještě lnx*arcsin(6x-5) >= 0
Jak se tahle nerovnice řeší?

Odpovědi

Přidat odpověď ▾

Diskuze

xewerob01.11.2015 13:38 (Upr. 01.11.2015 13:41) Nahlásit
Musíš se na to podívat jako na součin, který je >= 0 jen když oba jeho členy jsou >= 0 nebo jsou oba <= 0. A obráceně – součin je < 0 právě když jeden jeho člen je < 0 a ten druhý je > 0.
Je tedy potřeba řešit nerovnice:

lnx >= 0 (x∈A)
lnx < 0 (x∈B)
arcsin(6x-5) >= 0 (x∈C)
arcsin(6x-5) < 0 (x∈D)

a přípustný definiční obor je pak (A ⋂ C) ⋃ (B ⋂ D).

Aby to ale nebylo tak jednoduché :-( musí ještě x vyhovovat omezení argumentu funkce arcsin:

6x-5 ∈ <-1, 1>

Problém je navíc i v tom, že funkce arcsin(x) je taková funkce-nefunkce – aby vůbec existovala, musí se k ní vybrat jen určitá podmnožina definičního oboru funkce sin(x) a není nijak objektivně dáno, jaká to má být. Vhodnou volbou se pak dá dosáhnou toho, že arcsin(…) je vždycky kladná, nebo vždycky záporná.
Obvykle se výsledek arcsin() mapuje na interval ±π/2, ale to není žádný zákon, klidně to může být třeba <9,5π, 10,5π>. Takže při troše dobré vůle se dá říct, že na funkci arcsin() výsledek vůbec nezávisí, protože si ji vždycky můžeme "nastavit" tak, aby nám to vyhovovalo. V tomto ohledu je zadání opravdu nejednoznačné.
Anonym Vybepik01.11.2015 14:17 Nahlásit
Nemáš pravdu, Xeverobe. Inverzní funkce k sinu neexistuje, existují inverzní funkce k různě zvoleným částem sinu. A jen a pouze (!) ta funkce, která je inverzní k sinu zúženému na definiční obor <-pi/2, pi/2>, se nazývá arcussinus. Tedy žádná funkce-nefunkce!!!
xewerob01.11.2015 15:51 (Upr. 01.11.2015 15:52) Nahlásit
Samozřejmě, že k "celému" sin(x) inverze neexistuje. Vždyť jsem to psal: "aby vůbec existovala, musí se k ní vybrat jen určitá podmnožina definičního oboru funkce sin(x)"
A není pravda, že by to prostě MUSEL být jen a pouze ten interval ±π/2. Proč? Není k tomu objektivní důvod. Když už stejně musím ten sinus nějak osekat, můžu vzít jakýkoli maximální ryze monotóní úsek sin(x). Nebo snad ne? Brání tomu něco? Tvrdíš-li že brání, dokaž to.

Už jen ten název – arcussinus, neboli oblouk k sinu. Nemusím se na to vůbec dívat jako na funkci, ale prostě jako na problém: hledám odpovídající oblouk. Třeba k hodnotě 0 je řešení nekonečně mnoho: 0 + kπ, k∈Z. Pak 0 není jen a pouze jediné řešení. Naopak, v praxi (třeba při řešení fyzikálních problémů) je DŮLEŽITÉ si uvědomit, že řešené je mnohoznačné, tam nevystačíš s nějakým zúženým definičním oborem. Z takového pohledu to tedy vůbec není funkce. Proto jsem napsal funkce/nefunkce, záleží na úhlu pohledu a na charakteru problému, který řeším.

Je asi pravda, že zadání toho příkladu počítalo s tou definicí, jak ji hájíš ty, Vybepiku. Ale netvrdil bych, že tam platí nějaké jen a pouze :-)
Přidat komentář do diskuze ▾