Aproximační/iterační metoda výpočtu odmocnin
Dobrý den,
měl bych kuriózní dotaz, zda někdo neví jak vypočítat n-tou odmocninu. Našel jsem babylonskou metodu výpočtu druhé odnocniny r=(r+n/r)/2 n-odmocňované číslo, r-hodnota odmocniny. Už nějaký čas zkouším vymyslet rovnici na stejném principu, zatím jsem na ni internetu nenarazil. Kdyby někdo náhodou věděl, buď jak efektivně nějakou vymyslet nebo jestli už někdo na něco podobněho v historii nepřišel, byl bych velmi potěšen :)
měl bych kuriózní dotaz, zda někdo neví jak vypočítat n-tou odmocninu. Našel jsem babylonskou metodu výpočtu druhé odnocniny r=(r+n/r)/2 n-odmocňované číslo, r-hodnota odmocniny. Už nějaký čas zkouším vymyslet rovnici na stejném principu, zatím jsem na ni internetu nenarazil. Kdyby někdo náhodou věděl, buď jak efektivně nějakou vymyslet nebo jestli už někdo na něco podobněho v historii nepřišel, byl bych velmi potěšen :)
Odpovědi
Diskuze
x=(r+n/r)/2
x(1)=(x0+a/x0)/2
x0=1
x(1)=(1+2/1)/2=(3/2)=1,5 (1. krok)
x(2)=(3/2+2/(3/2))/2=(3/2 + 4/3)/2=(17/12)=1,4166666666666666666666666666667 (2. krok)
x(3)=(17/12+2/(17/12))/2=(3/2)=1,414215686274509803921568627451 (3. krok)
atd.
tyto problémy se dají velmi hezky vyřešit pomocí tzv. řad
Rozvineš funkci v Taylorovu nebo MacLaurinovu či jinou vhodnou řadu a pak si zvolíš počet vyhovujících členů.
y=√x=x^(1/2); y(1)=1
y'=1/2*x^(-1/2); y'(1)=1/2
y"=-1/4*x^(-3/2); y"(1)=-1/4
y"'=+3/8*x^(-5/2); y"'=+3/8
y^(4)=-15/16*x^(-7/2); y^(4)=-15/16
√x = 1 + (1/2)/1!*(x-1) - (1/4)/2!*(x-1) + (3/8)/3!*(x-1) - (15/16)/4!*(x-1) + (105/32)/120*(x-1) + ...
Zkouška:
√x = 1 + (1/2)/1!*(x-1) - (1/4)/2!*(x-1) + (3/8)/3!*(x-1) - (15/16)/4!*(x-1) + (105/32)/120*(x-1) ...
√2 ≈ 1 + (1/2)/1*(2-1) - (1/4)/2*(2-1) + (3/8)/6*(2-1) - (15/16)/24*(2-1) + (105/32)/5!*(2-1)= 1,42578125 (to už vypadá nadějně)
https://www.wolframalpha.com/input/?i=taylor+series+%E2%88%9Ax
1/2 * 1/2 * 3/2 * 5/2 * 7/2 = 105/32
(5+16/5)/2=4,1
(4,1+16/4,1)/2=4,0012195
...
(4+16/4)/2=4
edit:
pardon, neměl jsem od včerejška aktualizovanou stránku, kvůli rozepsané reakci. Děkuji za nápad použít k výpočtu nekonečné řady. Kouknu se, jestli s jejich pomocí půjde i n-tá odmocnina.