Rovnomerny pohyb
Změsta vyjela kopravě stavebního stroje pojízdná dílna rychlostí 40 km.h-1. Za 30 minut po ní vyjel ztéhož místa technik na motocyklu rychlostí 60 km.h-1. Určete výpočtem za jak dlouho dohoní technik dílnu, jede-li postejné trase.
Odpovědi
Diskuze
sestavme si rovnice, které budou popisovat tento pohyb v souřadném systému. Osu x označme jako t[h] (tedy čas v hodinách), zatímco osa y bude představovat dráhu v kilometrech (označíme ji s[km]).
Rovnoměrný přímočarý pohyb obou aktérů budou popisovat lineární funkce v daném souřadném systému.
Pozjídná dílna se pohybuje rychlostí 40km/h. Její pohyb popisuje lineární funkce f(t) = 40t, kde definičním oborem je čas v hodinách a oborem hodnot dráha v kilometrech. Můžete si ověřit, že v čase t=0 neurazila jezdecká dílna žádný čas, v čase t = 1hod urazila 40 km.
Technik na motocyklu jede rychlostí 60 km/h, v čase t = 0.5hod je dráha nulová, tedy lineární funkce g(t) popisující jeho pohyb má v bodě 0.5 hodnotu g(0.5) = 0. Jelikož za hodinu urazí technik 60 km, je hodnota funkce g v bodě 0.5 + 1 rovna g(1.5) = 60 km.
Sestavíme si rovnici přímky popisující tuto lineární funkci. Jistě na ní leží body A[0.5, 0] a B[1.5, 60]. Směrový vektor u = (1, 60), normálový vektor n = (-60, 1).
Sestavíme rovnici p: -60t + s + c = 0.
Dosaďme bod [0.5, 0].
-30 + c = 0 ==> c = 30
p: -60t + s + 30 = 0
s = 60t - 30
Jednoduše si ověříme, že v čase t = 0.5 je funkční hodnota nulová a v čase t = 1.5 je g(1.5) dle předpokladů rovna 60 km.
Nalezneme průsečík obou lineárních funkcí.
f(t) = g(t)
40t = 60t - 30
-20t = -30
t = 1.5 hod
Odpověď: Technik dohoní jezdeckou dílnu v čase 1.5 hodiny po okamžiku, kdy jezdecká dílna zahájila pohyb.
Ještě dodám, že definiční obor funkce f musí být interval <0,inf), definiční obor funkce g je <0.5, inf), neboť neuvažujeme o záporné dráze.