Určitý integrál
Určete obsah plošného obrazce pomocí určitého integrálu:
y=x
y=2x^2
---------------------------------------------------------
Mohli by jste mi prosím poradit nějakou internetou stránku, kde jsou tyto úlohy vysvětlovány, krok po kroku s postupem?
Mám v nich velké zmatky, jeden příklad se počítá se integrálem záporným druhý zase s kladným přičemž zadáním se příliš neliší, také se hodnoty a,b jednotlivě přehazují, ačkoliv k tomu také nevidím důvod.
y=x
y=2x^2
---------------------------------------------------------
Mohli by jste mi prosím poradit nějakou internetou stránku, kde jsou tyto úlohy vysvětlovány, krok po kroku s postupem?
Mám v nich velké zmatky, jeden příklad se počítá se integrálem záporným druhý zase s kladným přičemž zadáním se příliš neliší, také se hodnoty a,b jednotlivě přehazují, ačkoliv k tomu také nevidím důvod.
Odpovědi
Diskuze
První je dobré si představit, jak asi vypadá ta oblast, jejíž obsah budeme počítat.
Tady je obrázek:
bayimg.com/OaihCAAeN
Meze integrálu budou body, ve kterých se grafy potkávají.
Tedy hledáme x, pro které se budou hodnoty y rovnat.
x = 2*x^2
2*x^2 - x = 0
x*(2*x - 1) = 0
A to je splněno jen když x = 0, nebo
2*x - 1 = 0
upravíme
x = 1/2
Takže integrál, který budeme počítat bude mít počítat od 0 do 1/2.
Dále chce spočítat obsah plochy mezi těmi grafy. Integrál (kladné) funkce
spočítá plochu pod grafem. Takže ∫x by spočítalo obsah plochy až k vodorovné ose.
Když od toho odečteme plochu pod grafem funkce y=2*x^2, tak získáme plochu kterou chceme. (Viz ten obrázek.)
A plochu získáme opět pomocí integrálu takže chceme vypočítat
∫x - ∫(2*x^2) ale ještě jsme naoznačili hranice, ty se píšou ke znaku integrálu, tady na počítači nevím jak je zapsat, takže si je budeme jen pamatovat, že integrujeme pro x = [0..1/2].
∫x - ∫(2*x^2) = [(1/2)*x^2] "od nula do 1/2" - [(2/3)*x^3] "od nula do 1/2" =
= (1/2)*(1/2)^2 - 1/2)*0^2 - ( (2/3)*(1/2)^3 - (2/3)*0^3) = 1/8 - 0 - ( 2/24 - 0) =
= 1/24
------
------