Kombinatorika - příklad
Máme sedm korálků. Všechny mají tvar komolého kužele provrtaného v ose rotace, žádné dva z nich nemají stejnou barvu. Kolik náramků z nich můžeme vytvořit? Všechny korálky jsou navlečeny na šňůrce, spojení konců šňůrky je neznatelné.
(46080)
(46080)
Odpovědi
Diskuze
mě = n!*2^n (permutace x variace s opakováním), v náramku
zřejmě (n-1)!*2^{n-1}, takže pro n = 7 bude = 6!*2^6
Má-li každý z 'n' korálků různou barvu, je možných n! (= počet permutací) různých uspořádání korálků v řadě z hlediska jejich barevnosti.
Protože korálky mají tvar komolého kužele, může v každé jednotlivé permutaci poloh podle barev kterýkoliv z nich mířit v řadě (podobně jako později na niti) tenčím koncem vlevo nebo vpravo. Počet všech možných takových uspořádání je v každé jednotlivé permutaci dán právě počtem variací s opakováním, který se v tomto případě = 2^n.
O těchto variacích se dočtete třeba tady:
https://matematika.cz/variace-opakovani
Je-li tedy možno n! různých uspořádání korálků podle permutací barev a každé z nich ještě 2^n způsoby v důsledku možnosti dvou směrů uložení korálků, je celkový počet možných různých uspořádání (stále ještě korálky v řadě) = n!*2^n.
Uvažujeme-li nyní tytéž korálky seřazené v kruhu, tak se počet korálků samozřejmě nezmění, ale některá jejich uspořádání se přestanou lišit
a) při vhodných úhlech pootočení celého náramku - z tohoto důvodu se počet zmenší právě n-krát, viz třeba
http://kombinatorika.rubesz.cz/kombinatoricky-soucin/cyklicke-permutace/
b) při převrácení celého náramku - s ohledem na symetrii všech možných uspořádání dvojic směrů kuželů korálků - z tohoto důvodu se počet zmenší na polovinu.
Takže výsledek podle mě tam= n!*2^n/m/2 = (n-1)!*2^{n-1}.
Ale pochopitelně se mohu mýlit.