tečny kružnice
Bod M je od kružnice o poloměru 36 vzdálen 24 cm. Tečny z bodu M ke kružnici se jí dotýkají v bodech T1 a T2.
Určete vzdálenost MT1 a vzdálenost T1 a T2
nakreslila jsem si náčrt a u MT1 mi vyšel prav. trojůhelník a tudíž vzdálenost že je 48.
u toho druhého už newím...vyjde mi tam rovnoramenný trojúhelník?
Určete vzdálenost MT1 a vzdálenost T1 a T2
nakreslila jsem si náčrt a u MT1 mi vyšel prav. trojůhelník a tudíž vzdálenost že je 48.
u toho druhého už newím...vyjde mi tam rovnoramenný trojúhelník?
Odpovědi
Diskuze
1) Dáno: kružnice k2:{S2,R2=36 cm}
2) ve středu S2 opíšu kružnici k3 o poloměru |MS2|=R3=36+24=60 cm a zvolím na ní libovolný bod M (z něho povedu tečky ke kružnici k2)
3) najdu střed úsečky |MS2| tedy: |MS2|/2=R3/2=60/2=30cm a bod označím S3
4) V bodě S3 opíšu kružnici k4 o poloměru R4=R3/2=30 cm (ta prochází středem S2, kružnice k2, a bodem M)
5) kružnice k4 protne kružnici k2 ve dvou bodech ty označíme T1 a T2 {k4 je Thaletova kružnice}
6) trojúhelníky Δ(M,S2,T1) a Δ(M,S2,T2) jsou pravoúhlé
7) pomocí Pythagorovy věty platí:
c=R3=|MS2|=60 cm
R1=|MT1|=|MT2|=?
R2=|T1S2|=|T2S2|=k2=36cm
R3*R3=R1*R1+R2*R2
c*c=R1*R1+R2*R2
c*c=|MT1|*|MT1|+|T1S2|*|T1S2|
|MS2|*|MS2|=|MT1|*|MT1|+|T1S2|*|T1S2|
60*60=|MT1|*|MT1|+|T1S2|*|T1S2|
60*60=|MT1|*|MT1|+36*36
60*60-36*36=|MT1|*|MT1|
|MT1|=|MT2|=√(60*60-36*36) cm
===========
R1=|MT1|=|MT2|=48 cm
===========
spojnice |T1T2| je kolmá na |MS2|
zde je výhodné použít Euklidovu věty o odvěsnách:
c1*c=R1*R1
c2*c=R2*R2
platí:
|T1S2|=|T2S2| ;proto |T1T2|=2*|T1S2|
...
c*c1=|MT1|*|MT1|
60*c1=48*48
c1=48*48/60
c*c2=R2*R2
60*c2=36*36
c2=36*36/60
v*v=c1*c2 (Euklidova věta o výšce)
v*v=48*48/60 * 36*36/60
v=48*36/60=48*3/5
|T1T2|=|T1S2|+|T2S2| = 2*v = 2*48*3/5 = 48*6/5 = 288/5
|T1T2|=288/5 cm = 57,6 cm
=========================
(opraveno)
R1=√(R3*R3-R2*R2)
c=c1+c1
c1=R1*R1/c
c2=R2*R2/c
v*v=c1*c2
v=R1*R2/R3
==========