Tečny k elipse
Dobrý den, mohu poprosit o pomoc s tímto příkladem? Zasekla jsem se (asi) u konce a ne a ne se dopracovat k výsledku, který je uvedený v učebnici.
Určete hodnotu p tak, aby tečny vedené bodem A [p;0] k elipse E: 4x^2 + 9y^2 = 36 byly navzájem kolmé. (p má vyjít +- √13)
Přikládám obrázek s mým (ne)řešením a předem děkuji za radu :-)
Určete hodnotu p tak, aby tečny vedené bodem A [p;0] k elipse E: 4x^2 + 9y^2 = 36 byly navzájem kolmé. (p má vyjít +- √13)
Přikládám obrázek s mým (ne)řešením a předem děkuji za radu :-)
Odpovědi
Diskuze
Co je t1 a t2? Kde se vzala přímka t?
Poslední 3 řádky výpočtu nejsou určitě správně - je 3.řádek odspodu kvadr.rovnice proměnné "k" nebo "p"?
Celý ten tvůj výpočet z obrázku bude asi zbytečný, až se zjistí ty informace o t, t1, t2.
Rovnice tečen hledáte ve tvaru y = k(x-p). Pokud jste si udělala náčrtek, tak z něj jde s ohledem na symetrii tečen vzhledem k ose x a na podmínku jejich kolmosti usoudit, že k = ±1. Takže dále je nutno hledat jen parametr p v rovnicích
y = x-p, y = -(x-p),
což obdobným postupem jako na obrázku vede k p = ±√(13).
Teď po příchodu zpět do otázky navíc vidím, že to Sizusul vyřešil na 2 řádcích :-(
Svoje řešení uvádím jen pro úplnost. Snad se k něčemu hodí.
t1:
y = kx + q1
A[p,0] je prvkem t1, proto:
0 = kp + q1
q1 = -kp
a tedy t1: y = kx - kp
t2:
kolmé k t1, proto bude mít tvar: y = (-1/k).x + q2
A[p,0] je prvkem t2, proto:
0 = (-1/k)p + q2
q2 = p/k
a tedy t2: y = (-1/k).x + p/k
Výpočet probíhá dále pro t1 jako v tvém obrázku až po:
9k^2 - k^2.p^2 + 4 = 0
Vyjádříme "k" v závislosti na "p", protože zadání požaduje výpočet "p" a takto budeme moci dále ve výpočtu nahradit výskyty "k" výrazy s "p". Obecně bychom ale klidně mohli vyjádřit klidně i "p" v závislosti na "k".
k^2.(9 - p^2) = -4
k^2 = 4/(p^2 - 9)
Můžeme i vyjádřit "k", ale v dalším výpočtu se objevují stejně jen k^2.
k = 2/odm(p^2 - 9)
Stejný výpočet jako pro t1 provedeme i pro t2 a vyjde:
4k^2 - p^2 + 9 = 0
odtud
k^2 = (p^2 - 9)/4
k^2 z obou větví řešení se musí rovnat (je to vlastně řešení soustavy 2 rovnic o 2 neznámých:
9k^2 - k^2.p^2 + 4 = 0
4k^2 - p^2 + 9 = 0
[místo 2.mocnin si představ substituce: a = k^2; b = p^2 ] )
Zpět k porovnání dílčích k^2:
4/(p^2 - 9) = (p^2 - 9)/4
Upravím:
(p^2 - 9)^2 = 4^2
odmocníme:
p^2 - 9 = 4
p = +/- odm(13)
Ufff.
(Po dosazení do vztahů pro k^2 opravdu vyjdou k = +/- 1 ).
Začaly tam vycházet rovnice 8.řádu, s kterými jsem se snažil zápasit a nakonec nechal WolframAlpha spočítat kořeny (všechny "p" měly velice matoucí miniaturní imaginární složku řádově 10^-15, což mě vedlo k názoru, že tam mám jen drobnou chybu v koeficientu).
Všechny ty moje použité výpočetní postupy byly na úrovni zručného maturanta z matematiky, tedy mimo rámec typických školních úloh pro celou třídu.
Jakmile jsem objevil tu chybu v přepisu zlomku, tak jsem to měl celé přepočítané a dopočítané za 1-2 minuty. Hodně věcí se tam zjednodušilo a vyrušilo a začaly vycházet jen kvadratické rovnice.