sinová a kosinová věta
Prosím poraďte:
Mám za úkol najít OBĚ řešení trojúhelníku ABC
znám a,b,vb
V řešení jsou vypočítané 2 úhly, proč?
Mám za úkol najít OBĚ řešení trojúhelníku ABC
znám a,b,vb
V řešení jsou vypočítané 2 úhly, proč?
Odpovědi
Diskuze
Geometricky stačí sestrojit rovnoběžky se stranou 'a' ve vzdálenosti 'va' a pak kružítkem naneseš stranu 'b' (z bodu B nebo C strany 'a') a získáš body A1 a A2. Pak už jen doděláš stranu c1 a c2.
Výše analyticky je řešení pro:
Zadání #1
D: a,b,va
Ú: c=?
pro geometrické řešení
Zadání #2
D: a,b,vb
Ú: c=?
pro geometrické řešení se použije Thaletova kružnice nebo výše popsaná konstrukce, ale musí se přizpůsobit zadání #2
výpočet úhlu gama (u vrcholu C) = tohle vyšly 2 ůhly (když je sečtu rovnají se 180°)
následné dopočítání strany c1 a c2
D: a,b,vb
Ú: c=?
viz:
http://cs.wikipedia.org/wiki/Troj%C3%BAheln%C3%ADk
tedy vzorce pro výšky trojúhelníku:
va=b*sin(gama)=c*sin(beta)
vb=a*sin(gama)=c*sin(alfa)
vc=a*sin(beta)=b*sin(alfa)
Postupoval bych takto:
sin(gama)=vb/a (protože znám: vb,a)
protože neznáš arcsin(s) a arccos(x), můžeš postupovat takto:
sin²x+cos²x=1
cos(gama)=√(1-(vb/a)²)
a nyní použiji kosínovou větu k odvození poslední strany:
c*c=a*a+b+b -2*a*b*cos(gama)
c*c=a*a+b+b -2*a*b*√(1-(vb/a)²)
OK ?
c*c=a*a+b+b -2*a*b*√(1-(vb/a)²)
c*c=a*a+b+b +2*a*b*√(1-(vb/a)²)
Tak jsem si to nakreslil a geometrickým řešením: průnikem výšky 'vb' s Thaletovou kružnicí nad stranou 'a' dojde ke dvěma průnikům což jsou body A1 a A2 a určují stranu c1 a c2 > tedy dvě řešení.