konvergence řady
Zdravím, potřeboval bych poradit, jak je to u nějakého příkladu b), f) ,h) (tam, kde je (-1) na něco.
Konvergenční interval mi vyšel všude (-1,1)
Akorát nevím, zda a jak dokázat, jestli v -1 konverguje nebo ne. Díky.
Konvergenční interval mi vyšel všude (-1,1)
Akorát nevím, zda a jak dokázat, jestli v -1 konverguje nebo ne. Díky.
Odpovědi
Diskuze
Zkusím ukázat třeba příklad b, případně doplním i ostatní, pokud budu mít čas a pokud mě něco napadne.
Chcete vyšetřit konvergenci funkcíonální řady
sum[n=1 -> inf] (-1)^(n+1) * x^(n+1) / (n * (n+1))
pro x = -1.
Dosadíme tedy x = -1:
sum[n=1 -> inf] (-1)^(n+1) * (-1)^(n+1) / (n * (n+1))
sum[n=1 -> inf] (-1)^(2 * (n+1)) / (n * (n+1))
sum[n=1 -> inf] 1 / (n * (n+1))
Problém jsme srazili na součet posloupnosti sum[n=1 -> inf] 1 / (n * (n+1)). Součet označme jako S.
Jde o součet kladných čísel, proto zřejmě S > 0.
Zkusme dokázat, že S < sum[n=1 -> inf] 1 / (n^2).
Pokud bude tento předpoklad správný, pak 0 < S < sum[n=1 -> inf] 1 / (n^2), tedy naše posloupnost [n=1 -> inf] 1 / (n^2) je ohraničená dvěma jinými konvergentními posloupnostmi - byla by sama konvergentní.
Pokusíme se tvrzení S < sum[n=1 -> inf] 1 / (n^2) dokázat induktivně, tedy součet prvních n členů posloupnosti P1: [n=1 -> inf] 1 / (n*(n+1)) je nižší než součet prvních n členů posloupnosti P2: [n=1 -> inf] 1 / (n^2).
První krok:
1/(1*2) < 1/(1^2)
1/2 < 1
Pravda, první krok byl dokázán.
Druhý krok tu nebudu exaktně rozpitvávat, povšimněte si ale, že každý kátý člen posloupnosti P1 je vždy ostře menší než každý kátý člen posloupnosti P2, proto S < sum[n=1 -> inf] 1 / (n^2).
Naše zadání jsme tedy srazili na řešení Basilejského problému. Nebudeme objevovat kolo, řada sum[n=1 -> inf] 1 / (n^2) je rovna (pi^2)/6, důkaz viz https://cs.wikipedia.org/wiki/Basilejsk%C3%BD_probl%C3%A9m, tedy určitě 0 < S < (pi^2)/6.
Toto tvrzení je postačující pro potvrzení faktu, že řada b) konverguje pro x = -1.
Mohu v tomto případě b) dát tu (-1)^(n+1) na druhou , a že bych dostal v čitateli 1^(n+1) ?
A raebovým limitním kritériem mi vyšla 2 - kkonverguje ??
Předtím jsem na Raabea zapomněl, ano, pokud vychází takto, pak by řada konvergovat měla.
A opravdu se mi zdá, že při dosazení x=-1 už řada není alternující - střídající se znaménko vypadne.
Nicméně ten výsledek z wolframu, který jste předložil, mě dost solidně mate. Pokud je -x + x*log(x+1) + log(x+1) za daných podmínek skutečně analytickým řešením, vůbec nerozumím tomu, jak může -1 vyhovovat. Zkuste tam -1 dosadit, dostáváte cokoliv srozumitelného?
Protože 1/(n*(n+1)) = 1/n - 1/(n+1), tak je zřejmé, že
S = 1/1 - 1/2 + 1/2 - 1/3 + 1/3 - 1/4 + ... = 1, takže řada konverguje.
https://www.wolframalpha.com/input/?i=limit+%5B-x+%2B+x+log%28x+%2B+1%29+%2B+log%28x+%2B+1%29%5D%2C+x+%5Cto+-1
Σ (-1)^n (-1)^(2n+1)/(2n+1) = Σ (-1)^(3n+1)/(2n+1), v němž rovněž mění znaménka, takže pro x = -1 je možno použít kritérium pro alternující řadu
Jinak mě stejně vyšel součet té řady úplně jinak, než v tom wolframu.