Dělitelnost největšího společného dělitele
Proč platí, že největší společný dělitel čísla je dělitelný všemi ostatními děliteli tohoto čísla?
Odpovědi
Diskuze
(Možná jsem dotaz nepochopil.)
a) Každé přirozené číslo větší než jedna se dá jednoznačně (až na pořadí) rozložit na součin prvočísel. To je tzv. základní věta aritmetiky - zkuste si ji promyslet:
https://cs.wikipedia.org/wiki/Z%C3%A1kladn%C3%AD_v%C4%9Bta_aritmetiky
K prvočíselnému rozkladu přirozených čísel najdete na netu nespočet příkladů.
Např.:
2520 = 2³ × 3² × 5 × 7
8580 = 2² × 3 × 5 × 11 × 13
Tato dvě čísla nelze (až na pořadí prvočísel) rozložit jinak.
b) Dvě přirozená čísla mohou mít nějakého společného dělitele, pokud mají ve svých rozkladech některá (aspoň jedno) prvočísla shodná. Společný dělitel pak může být dán jen součinem několika společných prvočísel (nebo může být roven některému z nich.
Třeba čísla rozložená výše mohou mít např. tyto dělitele společné:
2, 5, 2 x 3 = 6, 5 x 3 = 15 apod.
Nemohou však mít společné dělitele třeba = 11, 2 x 13 = 26 atp, protože prvočísla 11 a 13 nejsou obsažena v obou rozkladech.
c) Největším společným dělitelem uvedených dvou čísel pak je součin všech těch prvočísel, které se vyskytují
v obou prvočíselných rozkladech (u každého prvočísla použijeme nejvyšší mocninu):
nsd( 2520, 8580 ) = 2² x 3 x 5 = 60
A v tom je, myslím, celý vtip: dělíme-li číslo 60 = 2² x 3 x 5 kterýmkoliv ze společných dělitelů (např. 2, 5, 2x3, 5x3) je hned zřejmé, že dělení musí vyjít bez zbytku. Podobně u jiných dvou čísel a analogicky také u více než dvou čísel.
Zkuste si to promyslet.
"(u každého prvočísla použijeme nejvyšší společnou mocninu)"
Moc děkuji za váš čas, který jste tomu věnoval.