Ontola > diskuze
| Nahlásit

Objem 2/3 výšky nádrže

Jaký objem v litrech zaujímá nádrž na obrázku jestliže je zplněna do 2/3 výšky?Výška nádrže je 1,9 m a šířka 2,5m
Témata: Nezařazené

25 reakcí

| Nahlásit
Délka 8m
(Upr. 18.02.2017 19:43) | Nahlásit
Uvažujeme eliptický průřez ?

Obrázek je jen ilustrační, musí se to doslovně říct, že jde o elipsu.
| Nahlásit
Ano už ze zadání plyne že jde o ovál-elipsu
| Nahlásit
Jenže jak spočíst obsah eliptické úseče?
| Nahlásit
Nejjednodušeji integrálním počtem.
| Nahlásit
Průřez-elipsa-hlavní osa 2500mm vedlejší osa 1900mm,Půjde to i bez integrace?
(Upr. 19.02.2017 10:36) | Nahlásit
Díval jsem se na Internet i do Bartsch: Matematické vzorce, a nikde jsem takový vzorec nenašel, takže jedině vlastoručně integrovat:

(x/a)² + (y/b)² = 1

y² = b²*(1 - (x/a)²)
x² = a²*(1 - (y/b)²)

x=a*√(1 -(y/b)²)

S=2∫ x*dy
S=2∫ a*√(1 -(y/b)²)*dy

integrate √(1 -(y/b)²)*dy
http://www.wolframalpha.com/input/?i=integrate+%E2%88%9A(1+-(y%2Fb)%C2%B2)*dy

S= 2*(1/2*a*y*√(1 -(y/b)²) + 1/2*a*b*arcsin(y/b)) + C

S= a*y*√(1 -(y/b)²) + a*b*arcsin(y/b) + C

dosadíme meze

h1=2/3*2*b=4/3*b; výška hladiny kapaliny
2r=h1+h2
h2=2b-4/3*b=2/3*b; výška vzduchového sloupce nad hladinou kapaliny

integrační mez: Y=r-h2=r-2/3*b=1/3*b

Zkouška: celková výška elipsy h=h1+h2=4/3*b + 2/3*b = 6/3*b=2b; což je správně

Plocha elipsy: S=π*a*b

1/2 plochy elipsy: S1=S½=π*a*b/2

Nyní vypočítáme plochu zbytku nad jednou polovinou plochy elipsy:

integrační meze jsou od 0 do (b-h2)=b-2/3*b = 1/3*b; tedy od: 0 do: 1/3*b

Y=1/3*b

S2 - plocha elipsy nad jednou polovinou nádrže

S2 = [a*(1/3*b)*√(1 -(1/3*b/b)²) + a*b*arcsin(1/3*b/b)]
- [a*0*√(1 -(0/b)²) + a*b*arcsin(0/b)]

S2 = 2/9*a*b*√2 + a*b*arcsin(1/3)
=================================

Celková plocha kterou smáčí kapalina v eliptické cisterně je:

S½ + S2 = π*a*b/2 + 2/9*a*b*√2 + a*b*arcsin(1/3)

2*b=1,9m=19 dm
2*a=2,5m=25 dm
L=8 m = 80 dm

a=19/2 dm
b=25/2 dm

V=(S½ + S2)*L
=============
| Nahlásit
Vycházi mi to 108903,6441 litrů.
| Nahlásit
Zeptám se ještě jak postupovat v případě že cisterna je válec s poloměrem 1250 mm a je zaplněna kapalinou do 7/9 průměru?
| Nahlásit
Opravuji po přepnutí na radiány-arcsin(1/3) mi vyšel objem 18029,57141 dm³=l
(Upr. 19.02.2017 03:05) | Nahlásit
PS: výše jsem to ještě upravil, byla tam chyba (výpočet byl jen 1/2 objemu válce je nyní opraven na celý objem)

Anonym Tarykeh: u válce s kruhovou podstavou se použije vzorec pro kruhovou úseč. Mohl by se použít i výše uvedený vzorec, ale je potřeba dosadit jiné integrační meze a podmínku r=a=b

h1=7/9*2*r=14/9*r; výška hladiny kapaliny
2r=h1+h2
h2=2r-14/9*r=4/9*r; výška vzduchového sloupce nad hladinou kapaliny

integrační mez: Y=r-h2=r-4/9*r=5/9*r

S2 = r²*(5/9)*√(1 -(5/9)²) + r²*arcsin(5/9)

1/2 plochy kruhu: S½=π*r²/2

V=(S½ + S2)*L
=============
| Nahlásit
Kolik ti teda vychází objem pro eliptický průřez a kruhový průřez?
| Nahlásit
Po té úpravě v rovnici pro S2 mi vychází objem eliptické cisterny zaplněné kapalinou do 2/3 výšky 21136,57771 dm³=l.U té válcové cisterny 32772,00349 dm³=l.Můžeš to přepočítat?
| Nahlásit
Další dotaz je k té válcové cisterně s kruhovým průřezem,pokud by na obou čelech byly kulové vrchlíky(vyboulení)o výšce 300mm a šířce 1250mm jak to obvykle nádrže mají a byla by zaplněna kapalinou do 1/4 průměru jak spočíst objem těch dvou vrchlíků?
(Upr. 19.02.2017 10:30) | Nahlásit
a) válcová nádrž s eliptickou podstavou

V=(S½ + S2)*L

2*b=1,9m=19 dm
2*a=2,5m=25 dm
L=8 m = 80 dm

a=19/2 dm
b=25/2 dm

S1=S½=π*a*b/2
S1=S½=P*(25/2)*(19/2)/2=186,53206380689397353371945088222 dm2

S2= a*(b*2/9)*√2 + a*b*arcsin(1/3)
S2= 25/2*(19/2*2/9)*2i@ + 25/2*19/2*(1/3)is/180*P=77,675157560300321595796730076361 dm2

V=(S½ + S2)*L
V=(186,53206380689397353371945088222 + 77,675157560300321595796730076361)*80=21136,577709375543610361294476685

V=21136,6 litrů má válcová nádrž s eliptickou podstavou
==================================
(Upr. 19.02.2017 10:50) | Nahlásit
b) válcová nádrž s kruhovou podstavou

V=(S½ + S2)*L

r=a=b=1250 mm = 12,50 dm
L=8 m = 80 dm

S1=S½=π*r*r/2
S1=S½=P*(12,50)*(12,50)/2=245,43692606170259675489401431871 cm2

S2= r²*5/9*√(1 -(5/9)²) + r²*arcsin(5/9)
S2= 12,50@*5/9*(1 -(5/9)@)i@ + 12,50@*(5/9)is/180*P=164,2131220201728362335403271265 dm2

V=(S½ + S2)*L
V=(245,43692606170259675489401431871 + 164,2131220201728362335403271265)*80=32772,003846550034639074747315616

V=32772,0 litrů má válcová nádrž s kruhovou podstavou
| Nahlásit
Nádrž s kulovými vrchlíky na čelech:
(Upr. 19.02.2017 10:29) | Nahlásit
Pokud by se započítával objem kapaliny v kulových vrchlících, bylo by nutné integrovat objem v kulovém vrchlíku mezích kde se nachází kapalina. Objem kulového vrchlíku je dvojný integrál s oblastí integrace danou kruhovou úsečí, kterou smáčí kapalina. Výpočet není ani tak složitý jako zdlouhavý. Nejspíše by se v praxi jen odhadl objem vrchlíku.
| Nahlásit
Těch tvých 19351,062366437852626346964576229 litrů se mi nějak nezdá,nemáš tam někde chybku?
(Upr. 19.02.2017 10:38) | Nahlásit
Ty objemy obou nádrží se nemohou hodně lišit, protože ten kruh se od elipsy také neliší hodně, spíš tvoje číslo je nějaké moc velké. A zadal jsi "poloměr" r=12,5 dm, ne průměr.
| Nahlásit
Ale válcová nádrž je zaplněna kapalinou do 7/9 průměru.
(Upr. 19.02.2017 10:51) | Nahlásit
Jo máš to správně, dosadil jsem do plochy dolní polokružnice jakoby do elipsy a pak mi to vyšlo špatně.
| Nahlásit
Tak a teď jak na ty vrchlíky?Nádrž má průměr 2500 mm a je naplněna do 1/4 průměru,poloměr kruhové podstavy kulového vrchlíku je 1250 mm a výška vrchlíku je 300 mm.
| Nahlásit
Pro válcovou cisternu zaplněnou do 1/4 průměru mi teď vyšlon7677,310616 dm³= l takže k tomu se připočtou parciální objemy dvou vrchlíků a mělo by to být.
| Nahlásit
Tak jak na ty kulový úseče?Cenobito poradíš?
 Anonym
Odpovídat lze i bez registrace. Dodržujte pravidla Ontoly
Vložit: Obrázek