Objem 2/3 výšky nádrže
Jaký objem v litrech zaujímá nádrž na obrázku jestliže je zplněna do 2/3 výšky?Výška nádrže je 1,9 m a šířka 2,5m
Odpovědi
Diskuze
Obrázek je jen ilustrační, musí se to doslovně říct, že jde o elipsu.
(x/a)² + (y/b)² = 1
y² = b²*(1 - (x/a)²)
x² = a²*(1 - (y/b)²)
x=a*√(1 -(y/b)²)
S=2∫ x*dy
S=2∫ a*√(1 -(y/b)²)*dy
integrate √(1 -(y/b)²)*dy
http://www.wolframalpha.com/input/?i=integrate+%E2%88%9A(1+-(y%2Fb)%C2%B2)*dy
S= 2*(1/2*a*y*√(1 -(y/b)²) + 1/2*a*b*arcsin(y/b)) + C
S= a*y*√(1 -(y/b)²) + a*b*arcsin(y/b) + C
dosadíme meze
h1=2/3*2*b=4/3*b; výška hladiny kapaliny
2r=h1+h2
h2=2b-4/3*b=2/3*b; výška vzduchového sloupce nad hladinou kapaliny
integrační mez: Y=r-h2=r-2/3*b=1/3*b
Zkouška: celková výška elipsy h=h1+h2=4/3*b + 2/3*b = 6/3*b=2b; což je správně
Plocha elipsy: S=π*a*b
1/2 plochy elipsy: S1=S½=π*a*b/2
Nyní vypočítáme plochu zbytku nad jednou polovinou plochy elipsy:
integrační meze jsou od 0 do (b-h2)=b-2/3*b = 1/3*b; tedy od: 0 do: 1/3*b
Y=1/3*b
S2 - plocha elipsy nad jednou polovinou nádrže
S2 = [a*(1/3*b)*√(1 -(1/3*b/b)²) + a*b*arcsin(1/3*b/b)]
- [a*0*√(1 -(0/b)²) + a*b*arcsin(0/b)]
S2 = 2/9*a*b*√2 + a*b*arcsin(1/3)
=================================
Celková plocha kterou smáčí kapalina v eliptické cisterně je:
S½ + S2 = π*a*b/2 + 2/9*a*b*√2 + a*b*arcsin(1/3)
2*b=1,9m=19 dm
2*a=2,5m=25 dm
L=8 m = 80 dm
a=19/2 dm
b=25/2 dm
V=(S½ + S2)*L
=============
Anonym Tarykeh: u válce s kruhovou podstavou se použije vzorec pro kruhovou úseč. Mohl by se použít i výše uvedený vzorec, ale je potřeba dosadit jiné integrační meze a podmínku r=a=b
h1=7/9*2*r=14/9*r; výška hladiny kapaliny
2r=h1+h2
h2=2r-14/9*r=4/9*r; výška vzduchového sloupce nad hladinou kapaliny
integrační mez: Y=r-h2=r-4/9*r=5/9*r
S2 = r²*(5/9)*√(1 -(5/9)²) + r²*arcsin(5/9)
1/2 plochy kruhu: S½=π*r²/2
V=(S½ + S2)*L
=============
V=(S½ + S2)*L
2*b=1,9m=19 dm
2*a=2,5m=25 dm
L=8 m = 80 dm
a=19/2 dm
b=25/2 dm
S1=S½=π*a*b/2
S1=S½=P*(25/2)*(19/2)/2=186,53206380689397353371945088222 dm2
S2= a*(b*2/9)*√2 + a*b*arcsin(1/3)
S2= 25/2*(19/2*2/9)*2i@ + 25/2*19/2*(1/3)is/180*P=77,675157560300321595796730076361 dm2
V=(S½ + S2)*L
V=(186,53206380689397353371945088222 + 77,675157560300321595796730076361)*80=21136,577709375543610361294476685
V=21136,6 litrů má válcová nádrž s eliptickou podstavou
==================================
V=(S½ + S2)*L
r=a=b=1250 mm = 12,50 dm
L=8 m = 80 dm
S1=S½=π*r*r/2
S1=S½=P*(12,50)*(12,50)/2=245,43692606170259675489401431871 cm2
S2= r²*5/9*√(1 -(5/9)²) + r²*arcsin(5/9)
S2= 12,50@*5/9*(1 -(5/9)@)i@ + 12,50@*(5/9)is/180*P=164,2131220201728362335403271265 dm2
V=(S½ + S2)*L
V=(245,43692606170259675489401431871 + 164,2131220201728362335403271265)*80=32772,003846550034639074747315616
V=32772,0 litrů má válcová nádrž s kruhovou podstavou